Задача 119. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \((y'+1)\ln\dfrac{y+x}{x+3}=\dfrac{y+x}{x+3}\).

Решение
Приведем уравнение к однородному виду. Уравнение можно привести к однородному виду с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых \(y+x = 0\) и \(x+3=0\):
\[\begin{cases}
y+x = 0\\
x+3=0
\end{cases} \]
Из второго уравнения получим \(x=-3\), подставив полученное значение во второе уравнение, получим \(y=3\).
Точка пересечения прямых: \((-3;3)\). Проведем замену \(x=x_1-3, y=y_1+3\):
\[(y_1'+1)\ln\frac{y_1+3+x_1-3}{x_1-3+3}=\frac{y_1+3+x_1-3}{x_1-3+3}\]
\[(y_1'+1)\ln\frac{y_1+x_1}{x_1}=\frac{y_1+x_1}{x_1}\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(y_1 = tx_1\):
Найдем производную:
\[\frac{dy_1}{dx_1}=t+x_1\frac{dt}{dx_1}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[(t+x_1\frac{dt}{dx_1}+1)\ln(t+1)=t+1\]
\[x_1\frac{dt}{dx_1}\ln(t+1)=t+1-(t+1)\ln(t+1)\]
\[x_1\frac{dt}{dx_1}\ln(t+1)=(t+1)(1-\ln(t+1))\]
\[x_1\frac{dt}{dx_1}=\frac{(t+1)(1-\ln(t+1))}{\ln(t+1)}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{\ln(t+1)}{(t+1)(1-\ln(t+1))} dt=\frac{1}{x_1}dx_1\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{\ln(t+1)}{(t+1)(1-\ln(t+1))} dt=\int\frac{1}{x_1}dx_1\]
Левый интеграл. Преобразуем дробь:
\[\frac{\ln(t+1)}{(t+1)(1-\ln(t+1)) }=\frac{1-1+\ln(t+1)}{(t+1)(1-\ln(t+1)) }=\frac{1}{(t+1)(1-\ln(t+1)) }-\frac{1}{t+1}\]
Найдем интеграл для первой дроби:
\[\int\frac{1}{(t+1)(1-\ln(t+1)) }dt=\int\frac{d(\ln(t+1))}{1-\ln(t+1)}=-\ln|1-\ln(1+t)|+C\]
Получаем:
\[-\ln|1-\ln(1+t)|-\ln|t+1|+\ln C=\ln |x_1|\]
\[\ln C=\ln |x_1(t+1)(1-\ln(1+t))|\]
\[ C=x_1(t+1)(1-\ln(1+t))\]
Произведем обратную замену. Так как \(y_1 = tx_1\), получаем:
\[ C=x_1(\frac{y_1}{x_1}+1)(1-\ln(1+\frac{y_1}{x_1}))\]
\[ C=x_1\frac{y_1+x_1}{x_1}(1-\ln\frac{y_1+x_1}{x_1})\]
\[ \frac{C}{y_1+x_1}=1-\ln\frac{y_1+x_1}{x_1}\]
Произведем обратную замену к \(x\) и \(y\). Так как \(x=x_1-3, y=y_1+3\), соответственно \(x_1=x+3, y_1=y-3\), получаем:
\[ \frac{C}{y+x}=1-\ln\frac{y+x}{x+3}\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[ \frac{C}{y+x}=1-\ln\frac{y+x}{x+3}.\]