Задача 118. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \(y'=2\Bigl(\dfrac{y+2}{x+y-1}\Bigr)^2\).

Решение
Приведем уравнение к однородному виду. Уравнение можно привести к однородному виду с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых \(y+2 = 0\) и \(x+y-1=0\):
\[\begin{cases}
y+2 = 0\\
x+y-1=0
\end{cases} \]
Из первого уравнения получим \(y=-2\), подставив полученное значение во второе уравнение, получим \(x=3\).
Точка пересечения прямых: \((3;-2)\). Проведем замену \(x=x_1+3, y=y_1-2\):
\[y_1'=2\Bigl(\dfrac{y_1-2+2}{x_1+3+y_1-2-1}\Bigr)^2\]
\[y_1'=2\Bigl(\dfrac{y_1}{x_1+y_1}\Bigr)^2\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(y_1 = tx_1\):
Найдем производную:
\[\frac{dy_1}{dx_1}=t+x_1\frac{dt}{dx_1}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x_1\frac{dt}{dx_1}=2\Bigl(\dfrac{t}{1+t}\Bigr)^2\]
\[x_1\frac{dt}{dx_1}=\dfrac{2t^2}{(1+t)^2}-t\]
\[x_1\frac{dt}{dx_1}=\dfrac{2t^2-t(1+2t+t^2)}{(1+t)^2}\]
\[x_1\frac{dt}{dx_1}=\dfrac{2t^2-t-2t^2-t^3}{(1+t)^2}\]
\[x_1\frac{dt}{dx_1}=-\dfrac{t(1+t^2)}{(1+t)^2}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{(1+t)^2}{t(1+t^2)} dt=-\frac{1}{x_1}dx_1\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{(1+t)^2}{t(1+t^2)} dt=-\int \frac{1}{x_1}dx_1\]
Левый интеграл. Преобразуем дробь:
\[\frac{(1+t)^2}{t(1+t^2)}=\frac{1+2t+t^2}{t(1+t^2)}=\frac{1+t^2}{t(1+t^2)}+\frac{2t}{t(1+t^2)}=\frac{1}{t}+\frac{2}{1+t^2}\]
Получаем:
\[\int \frac{1}{t}+\int \frac{2}{1+t^2}=-\int \frac{1}{x_1}dx_1\]
\[\ln|t|+2\text{arctg} \ t=-\ln|x_1|+C\]
\[\ln|t x_1|+2\text{arctg} \ t=C\]
Произведем обратную замену. Так как \(y_1 = tx_1\), получаем:
\[\ln|y_1|+2\text{arctg} \frac{y_1}{x_1}=C\]
Произведем обратную замену к \(x\) и \(y\). Так как \(x=x_1+3, y=y_1-2\), соответственно \(x_1=x-3, y_1=y+2\), получаем:
\[\ln|y+2|+2\text{arctg} \frac{y+2}{x-3}=C\]
При делении могли быть потеряны решения \(t=0 \ (y+2=0)\) и \(x_1 = 0 \ (x=3)\). Очевидно, \(y+2=0\) не является решением, \(x=3\) не является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[\ln|y+2|+2\text{arctg} \frac{y+2}{x-3}=C.\]