Задача 117. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \((y+2)\ dx=(2x+y-4) \ dy\).

Решение
\[y'=\frac{y+2}{2x+y-4}\]
Приведем уравнение к однородному виду. Уравнение можно привести к однородному виду с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых \(y+2 = 0\) и \(2x+y-4=0\):
\[\begin{cases}
y+2 = 0\\
2x+y-4=0
\end{cases} \]
Из первого уравнения получим \(y=-2\), подставив полученное значение во второе уравнение, получим \(x=3\).
Точка пересечения прямых: \((3;-2)\). Проведем замену \(x=x_1+3, y=y_1-2\):
\[y_1'=\frac{y_1}{2x_1+6+y_1-2-4}\]
\[y_1'=\frac{y_1}{2x_1+y_1}\]
\[y_1'=\frac{y_1}{x_1}\frac{1}{2+\dfrac{y_1}{x_1}}\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(y_1 = tx_1\):
Найдем производную:
\[\frac{dy_1}{dx_1}=t+x_1\frac{dt}{dx_1}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x_1\frac{dt}{dx_1}=\frac{t}{2+t}\]
\[x_1\frac{dt}{dx_1}=\frac{t}{2+t}-t\]
\[x_1\frac{dt}{dx_1}=\frac{t-2t-t^2}{2+t}\]
\[x_1\frac{dt}{dx_1}=-\frac{t^2+t}{2+t}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{t+2}{t(t+1)} dt=-\frac{1}{x_1}dx_1\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{t+2}{t(t+1)} dt=-\int \frac{1}{x_1}dx_1\]
Левый интеграл. Разложим дробь на простые составляющие методом неопределенных коэффициентов:
\[\frac{t+2}{t(t+1)}=\frac{a}{t}+\frac{b}{t+1}\]
Приводя к общему знаменателю, приравняем числители:
\[at+a+bt=t+2\]
\[t(a+b)+a=t+2\]
Приравнивая коэффициенты при разных степенях \(t\), получаем систему:
\[\begin{cases}\ a+b=1\\ a=2 \end{cases}\]
Отсюда: \(a=2, \ b=-1\).
Получаем:
\[\frac{t+2}{t(t+1)}=\frac{2}{t}-\frac{1}{t+1}\]
Таким образом:
\[\int \frac{2}{t}-\int \frac{1}{t+1}=-\int \frac{1}{x_1}dx_1\]
\[2\ln|t|-\ln|t+1|=-\ln |x_1|+\ln C\]
\[\ln|\frac{t^2}{t+1}x_1|=\ln C\]
\[\frac{t^2}{t+1}x_1= C\]
Произведем обратную замену. Так как \(y_1 = tx_1\), получаем:
\[\frac{\dfrac{y^2_1}{x^2_1}}{\dfrac{y_1}{x_1}+1}x_1= C\]
\[\frac{y^2_1}{y_1+x_1}= C\]
Произведем обратную замену к \(x\) и \(y\). Так как \(x=x_1+3, y=y_1-2\), соответственно \(x_1=x-3, y_1=y+2\), получаем:
\[\frac{(y+2)^2}{y+2+x-3}= C\]
\[\frac{(y+2)^2}{y+x-1}= C\]
\[(y+2)^2=C(y+x-1)\]
При делении могли быть потеряны решения \(t+1=0 \ (y+x-1=0)\), \(t=0 \ (y+2=0)\) и \(x_1 = 0 \ (x=3)\). Очевидно, решение \(y+2=0\) входит в общее решение при \(C=0\), \(x=3\) не является решением, \(y+x-1=0\) является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[(y+2)^2=C(y+x-1); \ y+x-1=0.\]