Задача 116. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \((x+4y)y'=2x+3y-5\).

Решение
\[y'=\frac{2x+3y-5}{x+4y}\]
Приведем уравнение к однородному виду. Уравнение можно привести к однородному виду с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых \(2x+3y-5 = 0\) и \(x+4y=0\):
\[\begin{cases}
2x+3y-5 = 0\\
x+4y=0
\end{cases} \]
Выразив из второго уравнения \(x=-4y\) и подставив в первое, получим: \(y=-1\). Соответственно \(x=4\).
Точка пересечения прямых: \((4;-1)\). Проведем замену \(x=x_1+4, y=y_1-1\):
\[y_1'=\frac{2x_1+8+3y_1-3-5}{x_1+4+4y_1-4}\]
\[y_1'=\frac{2x_1+3y_1}{x_1+4y_1}\]
\[y_1'=\frac{2+3\dfrac{y_1}{x_1} }{1+4\dfrac{y_1}{x_1}}\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(y_1 = tx_1\):
Найдем производную:
\[\frac{dy_1}{dx_1}=t+x_1\frac{dt}{dx_1}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x_1\frac{dt}{dx_1}=\frac{2+3t }{1+4t}\]
\[x_1\frac{dt}{dx_1}=\frac{2+3t }{1+4t}-t\]
\[x_1\frac{dt}{dx_1}=\frac{2+3t-t-4t^2 }{1+4t}\]
\[x_1\frac{dt}{dx_1}=\frac{2+2t-4t^2 }{1+4t}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1+4t}{2+2t-4t^2 } dt=\frac{1}{x_1}dx_1\]
\[-\frac{1+4t}{4t^2-2t-2} dt=\frac{1}{x_1}dx_1\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[-\int \frac{1+4t}{4t^2-2t-2} dt=\int \frac{1}{x_1}dx_1\]
Левый интеграл. Преобразуем знаменатель дроби, найдя корни уравнения \(2t^2-t-1=0\):
\[\frac{1+4t}{4t^2-2t-2} =\frac{1+4t}{4(t-1)(t+\frac{1}{2})}=\frac{1+4t}{2(t-1)(2t+1)}\]
Разложим дробь на простые составляющие методом неопределенных коэффициентов:
\[\frac{1+4t}{(t-1)(2t+1)}=\frac{a}{t-1}+\frac{b}{2t+1}\]
Приводя к общему знаменателю, приравняем числители:
\[2at+a+bt-b=1+4t\]
\[a-b+t(2a+b)=1+4t\]
Приравнивая коэффициенты при разных степенях \(t\), получаем систему:
\[\begin{cases}\ a-b=1\\ 2a+b=4 \end{cases}\]
Отсюда: \(a=\dfrac{5}{3}, \ b=\dfrac{2}{3}\).
Получаем:
\[\frac{1+4t}{2(t-1)(2t+1)}=\frac{5}{6}\frac{1}{t-1}+\frac{2}{6}\frac{1}{2t+1}\]
Таким образом:
\[-\int\frac{5}{6}\frac{1}{t-1}-\int\frac{2}{6}\frac{1}{2t+1}=\int \frac{1}{x_1}dx_1\]
\[-\frac{5}{6}\ln|t-1|-\frac{1}{6}\ln|2t+1|+\ln C=\ln |x_1|\]
\[-5\ln|t-1|-\ln|2t+1|+\ln C=6\ln|x_1|\]
Произведем обратную замену. Так как \(y_1 = tx_1\), получаем:
\[-5\ln|\frac{y_1}{x_1}-1|-\ln|2\frac{y_1}{x_1}+1|+\ln C=6\ln |x_1|\]
\[-5\ln|\frac{y_1-x_1}{x_1}|-\ln|\frac{2y_1+x_1}{x_1}|+\ln C=6\ln |x_1|\]
\[-5\ln|y_1-x_1|+5\ln|x_1|-\ln|2y_1+x_1|+\ln|x_1|+\ln C=6\ln |x_1|\]
\[-5\ln|y_1-x_1|-\ln|2y_1+x_1|+\ln C=0\]
Произведем обратную замену к \(x\) и \(y\). Так как \(x=x_1+4, y=y_1-1\), соответственно \(x_1=x-4, y_1=y+1\), получаем:
\[-5\ln|y+1-x+4|-\ln|2y+2+x-4|+\ln C=0\]
\[-5\ln|y-x+5|-\ln|2y+x-2|+\ln C=0\]
\[5\ln|y-x+5|+\ln|2y+x-2|=\ln C\]
\[(2y+x-2)(y-x+5)^5= C\]
При делении могли быть потеряны решения \(t-1=0 \ (y-x+5=0)\), \(2t+1=0 \ (2y+x-2=0)\) и \(x_1 = 0 \ (x=4)\). Очевидно, решения \(y-x+5=0\) и \(2y+x-2=0\) входят в общее решение при \(C=0\), \(x=4\) не является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[(2y+x-2)(y-x+5)^5= C.\]