Задача 115. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \(x-y-1 +(y-x+2) y'=0\).

Решение
\[y'=\frac{x-y-1}{x-y-2}\]
Приведем уравнение к однородному виду. Поскольку прямые \(x-y-1= 0\) и \(x-y-2=0\) не пересекаются, уравнение невозможно привести к однородному виду с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых. Поэтому введем замену: \(z=x-y-2\).
Найдем производную:
\[z'=1-y' \ \Rightarrow \ y'=1-z'\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[1-z'=\frac{z+1}{z}\]
\[z'=-\frac{1}{z}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[zdz=-dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int zdz=-\int dx\]
\[\frac{z^2}{2}=-x+C\]
\[\frac{(x-y-2)^2}{2}=-x+C\]
\[\frac{(x-y-2)^2}{2}+x=C\]
При делении могло быть потеряно решение \(z=0 \ (x-y-2=0)\). Очевидно, \(x-y-2=0\) не является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[\frac{(x-y-2)^2}{2}+x=C.\]