Задача 114. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \((2x+y+1) \ dx-(4x+2y-3) \ dy=0\).

Решение
\[y'=\frac{2x+y+1}{4x+2y-3}\]
Приведем уравнение к однородному виду. Поскольку прямые \(2x+y+1 = 0\) и \(4x+2y-3=0\) не пересекаются, уравнение невозможно привести к однородному виду с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых, введем замену: \(z=2x+y\).
Найдем производную:
\[z'=2+y' \ \Rightarrow \ y'=z'-2\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[z'-2=\frac{z+1}{2z-3}\]
\[z'=\frac{z+1}{2z-3}+2\]
\[z'=\frac{z+1+4z-6}{2z-3}\]
\[z'=\frac{5z-5}{2z-3}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{2z-3}{5z-5}dz=dx\]
\[\frac{2z-3}{z-1}dz=5 \ dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{2z-3}{z-1}dz=5\int dx\]
Левый интеграл:
\[\int \frac{2z-3}{z-1}dz=2\int dz -\int \frac{1}{z-1}dz\]
Получаем:
\[2z-\ln|z-1|=5x+C\]
Произведем обратную замену. Так как \(z=2x+y\), получаем:
\[4x+2y-\ln|2x+y-1|=5x+C\]
\[\ln|2x+y-1|=2y-x+C\]
\[2x+y-1=C_1e^{2y-x}\]
При делении могло быть потеряно решение \(z-1=0 \ (2x+y-1=0)\). Решение \(2x+y-1=0\) входит в общее решение при \(C_1=0\).
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[2x+y-1=C_1e^{2y-x}.\]