Задача 113. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \((2x-4y+6) \ dx+(x+y-3) \ dy=0\).

Решение
Приведем уравнение к однородному виду. Уравнение можно привести к однородному виду с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых \(2x-4y+6 = 0\) и \(x+y-3=0\):
\[\begin{cases}
2x-4y+6 = 0\\
x+y-3=0
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
x-2y+3 = 0\\
x+y-3=0
\end{cases} \]
Вычитая из первого уравнения второе, получим \(y=2\). Соответственно \(x=1\).
Проведем замену \(x=x_1+1, y=y_1+2\):
\[(2(x_1+1)-4(y_1+2)+6) \ dx_1+(x_1+1+y_1+2-3) \ dy_1=0\]
\[(2x_1+2-4y_1-8+6) \ dx_1+(x_1+1+y_1+2-3) \ dy_1=0\]
\[(2x_1-4y_1) \ dx_1+(x_1+y_1) \ dy_1=0\]\[\frac{dy_1}{dx_1}=-\frac{2x_1-4y_1}{x_1+y_1} \]
\[\frac{dy_1}{dx_1}=-\frac{2-4\dfrac{y_1}{x_1} }{1+\dfrac{y_1}{x_1}} \]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(y_1 = tx_1\):
Найдем производную:
\[\frac{dy_1}{dx_1}=t+x_1\frac{dt}{dx_1}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x_1\frac{dt}{dx_1}=-\frac{2-4t }{1+t} \]
\[x_1\frac{dt}{dx_1}=-\frac{2-4t }{1+t}-t\]
\[-\frac{2-4t }{1+t}-t=-\frac{2-4t }{1+t}-\frac{t(1+t)}{1+t}=\frac{-t^2-t+4t-2}{1+t}=-\frac{(t-1)(t-2)}{1+t}\]
Получаем:
\[x_1\frac{dt}{dx_1}=-\frac{(t-1)(t-2)}{1+t}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[-\frac{1+t}{(t-1)(t-2)}dt=\frac{1}{x_1}dx_1\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[-\int \frac{1+t}{(t-1)(t-2)}dt=\int \frac{1}{x_1}dx_1\]
Левый интеграл. Разложим дробь на простые составляющие методом неопределенных коэффициентов:
\[\frac{1+t}{(t-1)(t-2)}=\frac{a}{t-1}+\frac{b}{t-2}\]
Приводя к общему знаменателю, приравняем числители:
\[at-2a+bt-b=1+t\]
\[-2a-b+t(a+b)=1+t\]
Приравнивая коэффициенты при разных степенях \(t\), получаем систему:
\[\begin{cases}\ -2a-b=1\\ a+b=1 \end{cases}\]
Отсюда: \(a=-2, \ b=3\).
Получаем:
\[\frac{1+t}{(t-1)(t-2)}=-\frac{2}{t-1}+\frac{3}{t-2}\]
Тогда:
\[\int \frac{1+t}{(t-1)(t-2)}dt=-\int \frac{2}{t-1}+\int \frac{3}{t-2}= \\ =-2\ln|t-1|+3\ln|t-2|+\ln C=\ln\Bigl(C \frac{(t-2)^3}{(t-1)^2}\Bigr)\]
Таким образом, получаем:
\[-\ln\Bigl(C \frac{(t-2)^3}{(t-1)^2}\Bigr)=\ln|x_1|\]
\[\frac{1}{x_1}=C \frac{(t-2)^3}{(t-1)^2}\]
Произведем обратную замену. Так как \(y_1 = tx_1\):
\[\frac{1}{x_1}=C \frac{\Bigl(\dfrac{y_1}{x_1} -2\Bigr)^3}{\Bigl(\dfrac{y_1}{x_1} -1\Bigr)^2}\]
\[\frac{1}{x_1}\Bigl(\dfrac{y_1}{x_1} -1\Bigr)^2=C \Bigl(\dfrac{y_1}{x_1} -2\Bigr)^3\]
\[(y_1-x_1)^2=C (y_1 -2x_1)^3\]
Произведем обратную замену. Так как \(x=x_1+1, \ y=y_1+2\), то \(x_1=x-1, \ y_1=y-2\). Получаем:
\[(y-x-1)^2=C (y -2x)^3\]
При делении могли быть потеряны решения \(t-1=0 \ (y=x+1)\), \(t-2=0 \ (y=2x)\) и \(x_1 = 0 \ (x=1)\). Очевидно, \(y=x+1\) является решением, \(x=1\) не является решением, \(y=2x\) не является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[(y-x-1)^2=C (y -2x)^3; \ y=x+1.\]