Задача 112. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \(xy' =\sqrt{x^2-y^2}+y\).

Решение
Приведем уравнение к однородному виду:
\[y' =\sqrt{1-\Bigl( \frac{y}{x}\Bigr)^2}+\frac{y}{x}\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(y = tx\):
Найдем производную:
\[y'=t+x t'\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x t'=\sqrt{1-t^2}+t\]
\[x t'=\sqrt{1-t^2}\]
\[t'=\frac{\sqrt{1-t^2}}{x}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=\int \frac{1}{x}dx\]
\[\text{arcsin} \ t =\ln Cx\]
Произведем обратную замену. Так как \(y = tx\):
\[\text{arcsin} \frac{y}{x} =\ln Cx\]
При делении могли быть потеряны решения \(t=\pm 1 \ (y=\pm x)\) и \(x = 0\). Очевидно, \(y=\pm x\) является решением, \(x=0\) не является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[\text{arcsin} \frac{y}{x} =\ln Cx; \ y=\pm x.\]