Задача 111. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \((y+\sqrt{xy}) \ dx =x \ dy \).

Решение
Приведем уравнение к однородному виду:
\[\frac{dy}{dx} =\dfrac{y}{x}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(y = tx\):
Найдем производную:
\[\frac{dy}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x\frac{dt}{dx}=t+\sqrt{t}\]
\[x\frac{dt}{dx}=\sqrt{t}\]
\[\frac{dt}{dx}=\frac{\sqrt{t}}{x}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1}{\sqrt{t}}dt=\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{\sqrt{t}}dt=\int \frac{1}{x}dx\]
\[2\sqrt{t}=\ln Cx\]
Произведем обратную замену. Так как \(y = tx\):
\[2\sqrt{\frac{y}{x}}=\ln Cx\]
\[2\sqrt{xy}=x\ln Cx\]
При делении могли быть потеряны решения \(t=0 \ (y=0)\) и \(x = 0\). Очевидно, \(y=0\) является решением, \(x=0\) является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[2\sqrt{xy}=x\ln Cx; \ y=0; \ x=0.\]