Задача 110. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \(xy' =y\cos\ln \frac{y}{x} \).

Решение
Приведем уравнение к однородному виду:
\[y' =\frac{y}{x}\cos\ln \frac{y}{x} \]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(y = tx\):
Найдем производную:
\[y'=t+x t'\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x t'=t\cos\ln t\]
\[x t'=t\cos\ln t -t\]
\[t'=\frac{t\cos\ln t -t}{x}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1}{t\cos\ln t -t}dt=\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{t(\cos\ln t -1)}dt=\int \frac{1}{x}dx\]
Левый интеграл (воспользуемся формулой двойного косинуса \(\cos(2\alpha)= 1−2\sin^2\alpha \) ):
\[\int \frac{1}{t(\cos\ln t -1)}dt=\int \frac{1}{\cos\ln t -1}d(\ln t)=-\int \frac{1}{\sin^2\frac{\ln t}{2}}d\Bigl(\frac{\ln t}{2}\Bigr)=\text{ctg}\Bigl(\frac{\ln t}{2}\Bigr)+C\]
Получаем:
\[\text{ctg}\Bigl(\frac{\ln t}{2}\Bigr)=\ln Cx\]
Произведем обратную замену. Так как \(y = tx\):
\[\text{ctg}\Bigl(\frac{1}{2}\ln\frac{y}{x}\Bigr)=\ln Cx\]
При делении могли быть потеряны решения \(t=0 \ (y=0)\), \(\cos\ln t -1=0\) \((y=xe^{2\pi n}, \ n\in \Bbb Z)\) и \(x = 0\). Очевидно, \(y=0\) не является решением, \(x=0\) не является решением.
Отдельно проверим \(y=xe^{2\pi n} \ (y'=e^{2\pi n}), \ n\in \Bbb Z\). Подставим в исходное уравнение:
\[xe^{2\pi n} =x e^{2\pi n}\cos\ln \frac{xe^{2\pi n}}{x} \]
\[xe^{2\pi n} =x e^{2\pi n} \]
Мы получили тождество, следовательно \(y=xe^{2\pi n}, \ n\in \Bbb Z\) является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[\text{ctg}\Bigl(\frac{1}{2}\ln\frac{y}{x}\Bigr)=\ln Cx; y=xe^{2\pi n}, \ n\in \Bbb Z.\]