Задача 109. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \(xy'-y =(x+y)\ln \frac{x+y}{x} \).

Решение
Приведем уравнение к однородному виду:
\[y'=\frac{y}{x}+\Bigl(1+\frac{y}{x}\Bigr)\ln\Bigl(1+\frac{y}{x}\Bigr)\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(y = tx\):
Найдем производную:
\[y'=t+x t'\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x t'=t+(1+t)\ln(1+t)\]
\[x t'=(1+t)\ln(1+t)\]
\[t'=\frac{(1+t)\ln(1+t)}{x} \]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1}{(1+t)\ln(1+t)}dt=\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{(1+t)\ln(1+t)}dt=\int \frac{1}{x}dx\]
Левый интеграл:
\[\int \frac{1}{(1+t)\ln(1+t)}dt=\int \frac{1}{\ln(1+t)}d(\ln(1+t))=\ln|\ln(1+t)|+C\]
Получаем:
\[\ln|\ln(1+t)|=\ln Cx\]
\[\ln(1+t)= Cx\]
Произведем обратную замену. Так как \(y = tx\):
\[\ln(1+\frac{y}{x})= Cx\]
\[\ln\Bigl(1+\frac{y}{x}\Bigr)= Cx\]
\[\ln\Bigl(\frac{x+y}{x}\Bigr)= Cx\]
При делении могли быть потеряны решения \(1+t=0 \ (y=-x)\), \(\ln(1+t)=0 \ (t=0 \Rightarrow y=0)\) и \(x = 0\). Очевидно, \(y=0\) входит в общее решение при \(C=0\), \(y=-x\) не является решением, \(x=0\) не является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[\ln\Bigl(\frac{x+y}{x}\Bigr)= Cx.\]