Задача 108. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \(xy' =y-xe^{y/x}\).

Решение
Приведем уравнение к однородному виду:
\[y' =\frac{y}{x}-e^{y/x}\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(y = tx\):
Найдем производную:
\[y'=t+x t'\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x t'=t-e^t\]
\[t'=-\frac{e^t}{x}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1}{e^t}dt=-\frac{1}{x}dx\]
\[e^{-t}dt=-\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int e^{-t}dt=-\int \frac{1}{x}dx\]
\[- e^{-t}=-\ln|x| +\ln C\]
\[ e^{-t}=\ln Cx\]
\[ -t=\ln\ln Cx\]
Произведем обратную замену. Так как \(y = tx\):
\[ -\frac{y}{x}=\ln\ln Cx\]
\[ y=-x\ln\ln Cx\]
При делении могло быть потеряно решение \(x = 0\). Очевидно, \(x=0\) не является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[ y=-x\ln\ln Cx.\]