Задача 107. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \(xy'-y =x \ \text{tg} \frac{y}{x}\).

Решение
Приведем уравнение к однородному виду:
\[y' =\frac{y}{x} + \text{tg} \frac{y}{x}\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(y = tx\):
Найдем производную:
\[y'=t+x t'\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x t'=t+\text{tg} \ t\]
\[t'=\frac{\text{tg} \ t}{x}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1}{\text{tg} \ t}dt=\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[ \int \frac{1}{\text{tg} \ t}dt=\int \frac{1}{x}dx\]
Левый интеграл:
\[\int \frac{1}{\text{tg} \ t}dt= \int \frac{\cos t}{\sin t}dt=\int \frac{1}{\sin t}d(\sin t)= \ln|\sin t|+C\]
Получаем:
\[\ln|\sin t|=\ln|x|+\ln|C|\]
\[\ln|\sin t|=\ln|Cx|\]
\[\sin t=Cx\]
Произведем обратную замену. Так как \(y = tx\):
\[\sin \frac{y}{x}=Cx\]
При делении могли быть потеряны решения \(\text{tg} \ t=0\) \((y=\pi nx, n\in \Bbb Z)\) и \(x = 0\). Очевидно, \(y=\pi nx\) входит в общее решение при \(C=0\), \(x=0\) не является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[\sin \frac{y}{x}=Cx.\]