Задача 106. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \((x^2+y^2)y' =2xy\).

Решение
Приведем уравнение к однородному виду:
\[y'=\frac{2xy}{x^2+y^2}\]
\[y'=\frac{2\dfrac{y}{x}}{1+\Bigl(\dfrac{y}{x}\Bigr)^2}\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(y = tx\):
Найдем производную:
\[y'=t+x t'\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x t'=\frac{2t}{1+t^2}\]
\[x t'=\frac{2t}{1+t^2}-t\]
\[x t'=\frac{2t}{1+t^2}-\frac{t+t^3}{1+t^2}\]
\[x t'=\frac{t-t^3}{1+t^2}\]
\[x t'=\frac{t(1-t^2)}{1+t^2}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1+t^2}{t(1-t^2)}dt=\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1+t^2}{t(1-t^2)}dt=\int \frac{1}{x}dx\]
Левый интеграл. Разложим дробь на простые составляющие методом неопределенных коэффициентов:
\[\frac{1+t^2}{t(1-t^2)}=\frac{a}{t}+\frac{b}{1-t}+\frac{c}{1+t}\]
Приводя к общему знаменателю, приравняем числители:
\[a-at^2+bt+bt^2+ct-ct^2=t^2+1\]
\[t^2(-a+b-c)+t(b+c) +a=t^2+1\]
Приравнивая коэффициенты при разных степенях \(t\), получаем систему:
\[\begin{cases}\ -a+b-c=1\\ b+c=0\\a=1 \end{cases}\]
Отсюда: \(a=1, \ b=1, \ c=-1\).
Получаем:
\[\frac{1+t^2}{t(1-t^2)}=\frac{1}{t}+\frac{1}{1-t}-\frac{1}{1+t}\]
\[\int \frac{1+t^2}{t(1-t^2)}=\int \frac{1}{t}+\int \frac{1}{1-t}-\int \frac{1}{1+t}=\ln|t|-\ln|1-t^2|+C\]
Таким образом:
\[\ln|t|-\ln|1-t^2|=\ln|x|+\ln|C|\]
\[\ln|t|-\ln|1-t^2|=\ln|Cx|\]
\[\ln|\frac{t}{1-t^2}|=\ln|Cx|\]
\[\frac{t}{1-t^2}=Cx\]
Произведем обратную замену. Так как \(y = tx\):
\[\frac{\dfrac{y}{x}}{1-\Bigl(\dfrac{y}{x}\Bigr)^2}=Cx\]
\[\frac{xy}{x^2-y^2}=Cx\]
\[x^2-y^2=C_1y\]
При делении могли быть потеряны решения \(t^2-1=0\) \((y^2=x^2)\), \(t=0 \ (y=0)\) и \(x = 0\). Очевидно, \(y^2 = x^2\) входит в общее рещение при \(C_1=0\), \(x=0\) не является решением, \(y=0\) является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[x^2-y^2=C_1y; \ y=0.\]