Задача 105. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \(y^2+x^2y' =xyy'\).

Решение
Приведем уравнение к однородному виду:
\[y'=\frac{y^2}{xy-x^2}\]
\[y'=\frac{\Bigl(\dfrac{y}{x}\Bigr)^2}{\dfrac{y}{x}-1}\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(y = tx\):
Найдем производную:
\[y'=t+x\cdot t'\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x t'=\frac{t^2}{t-1}\]
\[x t'=\frac{t^2}{t-1}-t\]
\[x t'=\frac{t^2}{t-1}-\frac{t^2-t}{t-1}\]
\[x t'=\frac{t}{t-1}\]
\[x \frac{dt}{dx}=\frac{t}{t-1}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{t-1}{t}dt=\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{t-1}{t}dt=\int \frac{1}{x}dx\]
\[\int dt-\int \frac{1}{t}dt=\int \frac{1}{x}dx\]
\[t-\ln|t|=\ln|x|+\ln|C|\]
\[t-\ln|t|=\ln|Cx|\]
\[t=\ln|Cxt|\]
Произведем обратную замену. Так как \(y = tx\):
\[\frac{y}{x}=\ln|Cy|\]
\[y=Ce^{y/x}\]
При делении могли быть потеряны решения \(t-1=0\) \((y=x)\) и \(x = 0\). Очевидно, \(y = x\) не является решением, \(x=0\) не является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y=Ce^{y/x}.\]