Задача 104. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \(2x^3y' = y(2x^2-y^2)\).

Решение
Приведем уравнение к однородному виду:
\[y'=\frac{y}{x}-\frac{1}{2}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^3\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(y = tx\):
Найдем производную:
\[y'=t+x\cdot t'\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x\cdot t'=t-\frac{t^3}{2}\]
\[x\cdot t'=-\frac{t^3}{2}\]
\[x\frac{dt}{dx}=-\frac{t^3}{2}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[-2\frac{1}{t^3}dt=\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[-\int 2\frac{1}{t^3}dt=\int \frac{1}{x}dx\]
\[\frac{1}{t^2}=\ln|x|+\ln|C|\]
\[\frac{1}{t^2}=\ln|Cx|\]
Произведем обратную замену. Так как \(y = tx\):
\[\frac{x^2}{y^2}=\ln|Cx|\]
\[x=\pm y\sqrt{\ln|Cx|}\]
При делении могли быть потеряны решения \(t=0\) \((y=0)\) и \(x = 0\). Очевидно, \(y = 0\) является решением, \(x=0\) не является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[x=\pm y\sqrt{\ln|Cx|}; \ y=0.\]