Задача 103. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \((y^2 - 2xy) \ dx + x^2 \ dy = 0\).

Решение
Приведем уравнение к однородному виду:
\[\frac{dy}{dx}=\frac{2xy-y^2}{x^2}=2\frac{y}{x}-\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(y = tx\):
Найдем производную:
\[\frac{dy}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x\frac{dt}{dx}=2t-t^2\]
\[x\frac{dt}{dx}=t-t^2\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1}{t-t^2}dt=\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{t-t^2}dt=\int \frac{1}{x}dx\]
Левый интеграл:
\[\int \frac{1}{t-t^2}dt=\int \frac{1}{t(1-t)}dt=\int \frac{1}{t}dt-\int \frac{1}{t-1}dt=\ln|t|-\ln|t-1|+C\]
Получаем:
\[\ln|t|-\ln|t-1|+C=\ln|x|\]
\[x=C_1\frac{t}{t-1}\]
Произведем обратную замену. Так как \(y = tx\):
\[x=C_1\frac{\dfrac{y}{x}}{\dfrac{y}{x}-1}\]
\[x=C_1\frac{y}{y-x}\]
\[x(y-x)=C_1y\]
При делении могли быть потеряны решения \(1-t=0\) \((y=x)\), \(t=0\) \((y=0)\) и \(x = 0\). Очевидно, \(y = 0\) является решением. Решения \(y=x\) и \(x=0\) входят в общее решение при \(C=0\).
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[x(y-x)=C_1y; \ y = 0.\]