Задача 102. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \((x - y) \ dx + (x+y) \ dy = 0\).

Решение
Приведем уравнение к однородному виду, разделив на \(x\):
\[(1 - \frac{y}{x}) \ dx + (1+\frac{y}{x}) \ dy = 0\]
\[\frac{dy}{dx}=\frac{\Bigl(\dfrac{y}{x}-1\Bigr)}{ \Bigl(\dfrac{y}{x}+1\Bigl)}\]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(y = tx\):
Найдем производную:
\[\frac{dy}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x\frac{dt}{dx}=\frac{t-1}{t+1}\]
\[x\frac{dt}{dx}=\frac{t-1}{t+1}-t\]
\[x\frac{dt}{dx}=\frac{t-1}{t+1}-\frac{t^2+t}{t+1}\]
\[x\frac{dt}{dx}=-\frac{t^2+1}{t+1}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[-\frac{t+1}{t^2+1}dt=\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[-\int\frac{t+1}{t^2+1}dt=\int\frac{1}{x}dx\]
\[-\int\frac{1}{t^2+1}dt-\int\frac{t}{t^2+1}dt=\int\frac{1}{x}dx\]
\[-\int\frac{1}{t^2+1}dt-\frac{1}{2}\int\frac{1}{t^2+1}d(t^2+1)=\int\frac{1}{x}dx\]
\[-\text{arctg}\ t -\frac{1}{2}\ln|t^2+1|=\ln|x|+\ln C\]
Произведем обратную замену. Так как \(y = tx\):
\[-\text{arctg}\ \frac{y}{x} -\frac{1}{2}\ln|\frac{y^2+x^2}{x^2}|=\ln|x|+\ln C\]
\[-\text{arctg}\ \frac{y}{x} -\frac{1}{2}(\ln|y^2+x^2| -\ln|x^2|)=\ln|x|+\ln C\]
\[-\text{arctg}\ \frac{y}{x} -\frac{1}{2}\ln|y^2+x^2| +\ln|x|=\ln|x|+\ln C\]
\[\ln|y^2+x^2|=C_1-2\ \text{arctg}\ \frac{y}{x} \]
При делении могло быть потеряно решение \(x = 0\). Очевидно, \(x = 0\) не является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[\ln|y^2+x^2|=C_1-2\ \text{arctg}\ \frac{y}{x} \]