Задача 101. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение \((x + 2y) \ dx - x \ dy = 0\).

Решение
Приведем уравнение к однородному виду, разделив на \(x\):
\[(1 + \frac{2y}{x}) \ dx - \ dy = 0\]
\[\frac{dy}{dx}=1 + 2\frac{y}{x} \]
Уравнение является однородным. Проведем замену \(y = tx\):
Найдем производную:
\[\frac{dy}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x\frac{dt}{dx}=1 + 2t\]
\[x\frac{dt}{dx}=1 + t\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{dt}{1 + t}=\frac{dx}{x}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dt}{1 + t}=\int \frac{dx}{x}\]
\[\ln|1+t|=\ln|x|+\ln|C|\]
\[\ln|1+t|=\ln|Cx|\]
\[1+t=Cx\]
Произведем обратную замену. Так как \(y = tx\):
\[1+\frac{y}{x}=Cx\]
\[x+y=Cx^2\]
При делении могли быть потеряны решения \(1+t=0\) и \(x = 0\). Очевидно, \(x = 0\) является решением. Решение \(y=-x\) входит в общее решение при \(C=0\).

Таким образом, решение исходного уравнения:
\[x+y=Cx^2; \ x = 0.\]