Задача 93. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Цилиндрический бак поставлен вертикально и имеет отверстие в дне. Половина воды из полного бака вытекает за 5 минут. За какое время вытечет вся вода? Жидкость из сосуда вытекает со скоростью, равной \(0,6\sqrt{2gh}\), где \(g = 10 \ м/сек^2\) — ускорение силы тяжести, \(h\) — высота уровня воды над отверстием.

Решение
Пусть \(h(t)\) - высота уровня воды в баке над отверстием в момент времени \(t\). Поскольку неизвестны параметры бака и отверстия в дне, положим что скорость изменения уровня воды пропорциональна корню от уровня воды, то есть:
\[\frac{dh}{dt}=k\sqrt{h},\]
где \(k\) - коэффициент пропорциональности.
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{dh}{\sqrt{h}}=kdt\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dh}{\sqrt{h}}=k\int dt\]
Получаем общее решение:
\[2\sqrt{h}=kt+C\]
Пусть \(H\) - высота бака, тогда в момент времени \(t=0\), \(h(0)=H\). Подставив в общее решение, получим \(C=2\sqrt{H}\):
\[2\sqrt{h}=kt+2\sqrt{H}\]
Поскольку половина воды из полного бака вытекает за 5 минут, то \(h(5)=H/2\). Подставив в решение получим:
\[k=\frac{2\sqrt{H/2}-2\sqrt{H}}{5}=\frac{2\sqrt{H}}{5}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}}-1\Bigr)\]
Чтобы найти, за какое время вытечет вся вода, подставим \(h=0\), получим:
\[kt+2\sqrt{H}=0\]
\[\frac{2\sqrt{H}}{5}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}}-1\Bigr)t+2\sqrt{H}=0\]
\[\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}}-1\Bigr)t=-5\]
\[t=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\approx17,07\]
Таким образом, вся вода время вытечет через 17,07 минут.