Решение
Пусть \(h(t)\) - высота уровня воды в баке над отверстием в момент времени \(t\). Через промежуток времени \(\Delta t\) уровень воды понизится до \(h(t+\Delta t)\).
Тогда объем воды вытекшей из бака за это время: \(V_1=SH\). При бесконечно малых \(\Delta t\), площадь \(S\) можно принять равной прямоугольнику со сторонами \(a\) и \(-\Delta h\), где \(\Delta h = h(t+\Delta h)-h(t)\), \(a\) это хорда:
\[a=2\sqrt{2hR-h^2}\]
Получаем объем вытекшей из бака за время \(\Delta t\):
\[V_1=-2H\sqrt{2hR-h^2}\Delta h\]
С другой стороны, объем воды вытекшей из отверстия:
\[V_2=\pi r^2 0,6\sqrt{2gh}\Delta t\]
Поскольку эти объемы равны:
\[-2H\sqrt{2hR-h^2}\Delta h=\pi r^2 0,6\sqrt{2gh}\Delta t\]
Получаем дифференциальное уравнение:
\[-2H\sqrt{2hR-h^2} \frac{dh}{dt}=\pi r^2 0,6\sqrt{2gh}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[-2H\sqrt{2R-h} dh=\pi r^2 0,6\sqrt{2g}dt\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[-2H\int\sqrt{2R-h} dh=\pi r^2 0,6\sqrt{2g}\int dt\]
\[\frac{4}{3}H(2R-h)^{3/2} =\pi r^2 0,6\sqrt{2g}t+C\]
\[(2R-h)^{3/2} =\frac{1}{H} \pi r^2 0,45\sqrt{2g}t+C\]
Поскольку в момент времени \(t=0\), бак был полон, то \(h(0)=2R\). Подставив это условие в общее решение получим \(C=0\):
\[(2R-h)^{3/2} =\frac{1}{H} \pi r^2 0,45\sqrt{2g}t\]
Чтобы найти время за которое вытечет вся вода, подставим \(h=0\):
\[(2R)^{3/2} =\frac{1}{H} \pi r^2 0,45\sqrt{2g}t\]
\[t=\frac{H(2R)^{3/2}}{\pi r^2 0,45\sqrt{2g}}=\frac{2,45(2\cdot0,9)^{3/2}}{\pi \cdot(0,03)^2\cdot 0,45\cdot\sqrt{20}}\approx1039,8\]
Таким образом, вся вода вытечет из бака за \(1039,8 \ секунд\) (\(17,33 \ мин\)).
Комментариев нет:
Отправить комментарий