Задача 92. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака диаметром $2R = 1,8 \ м$ и высотой $H = 2,45 \ м$ через отверстие в дне диаметром $2r = 6\ см$? Ось цилиндра расположена горизонтально, а отверстие находится в самой нижней части цилиндра. Жидкость из сосуда вытекает со скоростью, равной $0,6\sqrt{2gh}$, где $g = 10 \ м/сек^2$ — ускорение силы тяжести, $h$ — высота уровня воды над отверстием.

Решение
Пусть $h(t)$ - высота уровня воды в баке над отверстием в момент времени $t$. Через промежуток времени $\Delta t$ уровень воды понизится до $h(t+\Delta t)$.

Тогда объем воды вытекшей из бака за это время: $V_1=SH$. При бесконечно малых $\Delta t$, площадь $S$ можно принять равной прямоугольнику со сторонами $a$ и $-\Delta h$, где $\Delta h = h(t+\Delta h)-h(t)$, $a$ это хорда:
$$a=2\sqrt{2hR-h^2}$$
Получаем объем вытекшей из бака за время $\Delta t$:
$$V_1=-2H\sqrt{2hR-h^2}\Delta h$$
С другой стороны, объем воды вытекшей из отверстия:
$$V_2=\pi r^2 0,6\sqrt{2gh}\Delta t$$
Поскольку эти объемы равны:
$$-2H\sqrt{2hR-h^2}\Delta h=\pi r^2 0,6\sqrt{2gh}\Delta t$$
Получаем дифференциальное уравнение:
$$-2H\sqrt{2hR-h^2} \frac{dh}{dt}=\pi r^2 0,6\sqrt{2gh}$$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$-2H\sqrt{2R-h} dh=\pi r^2 0,6\sqrt{2g}dt$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$-2H\int\sqrt{2R-h} dh=\pi r^2 0,6\sqrt{2g}\int dt$$
$$\frac{4}{3}H(2R-h)^{3/2} =\pi r^2 0,6\sqrt{2g}t+C$$
$$(2R-h)^{3/2} =\frac{1}{H} \pi r^2 0,45\sqrt{2g}t+C$$
Поскольку в момент времени $t=0$, бак был полон, то $h(0)=2R$. Подставив это условие в общее решение получим $C=0$:
$$(2R-h)^{3/2} =\frac{1}{H} \pi r^2 0,45\sqrt{2g}t$$
Чтобы найти время за которое вытечет вся вода, подставим $h=0$:
$$(2R)^{3/2} =\frac{1}{H} \pi r^2 0,45\sqrt{2g}t$$
$$t=\frac{H(2R)^{3/2}}{\pi r^2 0,45\sqrt{2g}}=\frac{2,45(2\cdot0,9)^{3/2}}{\pi \cdot(0,03)^2\cdot 0,45\cdot\sqrt{20}}\approx1039,8$$
Таким образом, вся вода вытечет из бака за $1039,8 \ секунд$ ($17,33 \ мин$).