Задача 91. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака диаметром \(2R = 1,8 \ м\) и высотой \(H = 2,45 \ м\) через отверстие в дне диаметром \(2r = 6\ см\)? Ось цилиндра вертикальна. Жидкость из сосуда вытекает со скоростью, равной \(0,6\sqrt{2gh}\), где \(g = 10 \ м/сек^2\) — ускорение силы тяжести, \(h\) — высота уровня воды над отверстием.

Решение
Пусть \(h(t)\) - высота уровня воды в баке над отверстием в момент времени \(t\). Через промежуток времени \(\Delta t\) уровень воды понизится до \(h(t+\Delta t)\).

Тогда объем воды вытекшей из бака за это время:
\[\Bigl(h(t)-h(t+\Delta t)\Bigr)\pi R^2\]
С другой стороны, объем воды вытекшей из отверстия:
\[\pi r^2 0,6\sqrt{2gh(t)}\Delta t\]
Поскольку эти объемы равны:
\[\Bigl(h(t)-h(t+\Delta t)\Bigr) R^2= r^2 0,6\sqrt{2g(t)}\Delta t\]
Получаем дифференциальное уравнение:
\[\frac{dh}{dt}=-0,6\sqrt{2g}\frac{r^2}{R^2}\sqrt{h}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{dh}{\sqrt{h}}=-0,6\sqrt{2g}\frac{r^2}{R^2}dt\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dh}{\sqrt{h}}=-0,6\sqrt{2g}\frac{r^2}{R^2}\int dt\]
\[2\sqrt{h}=-0,6\sqrt{2g}\frac{r^2}{R^2}t+C\]
Поскольку в момент времени \(t=0\), бак был полон, то \(h(0)=H\). Подставив это условие в общее решение получим \(C=2\sqrt{H}\):
\[2\sqrt{h}=-0,6\sqrt{2g}\frac{r^2}{R^2}t+2\sqrt{H}\]
Чтобы найти время за которое вытечет вся вода, подставим \(h=0\):
\[-0,6\sqrt{2g}\frac{r^2}{R^2}t+2\sqrt{H}=0\]
\[t=\frac{\sqrt{2}\sqrt{H}}{0,6\sqrt{g}}\frac{R^2}{r^2}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{2.45}}{0,6\sqrt{10}}\frac{0.9^2}{0.03^2}=1050 \]
Таким образом, вся вода вытечет из бака за \(1050 \ секунд\) (\(17,5 \ мин\)).