Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Задача 91. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака диаметром 2R=1,8 м и высотой H=2,45 м через отверстие в дне диаметром 2r=6 см? Ось цилиндра вертикальна. Жидкость из сосуда вытекает со скоростью, равной 0,62gh, где g=10 м/сек2 — ускорение силы тяжести, h — высота уровня воды над отверстием.

Решение
Пусть h(t) - высота уровня воды в баке над отверстием в момент времени t. Через промежуток времени Δt уровень воды понизится до h(t+Δt).

Задача 91. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Тогда объем воды вытекшей из бака за это время:
(h(t)h(t+Δt))πR2
С другой стороны, объем воды вытекшей из отверстия:
πr20,62gh(t)Δt
Поскольку эти объемы равны:
(h(t)h(t+Δt))R2=r20,62g(t)Δt
Получаем дифференциальное уравнение:
dhdt=0,62gr2R2h
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
dhh=0,62gr2R2dt
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
dhh=0,62gr2R2dt
2h=0,62gr2R2t+C
Поскольку в момент времени t=0, бак был полон, то h(0)=H. Подставив это условие в общее решение получим C=2H:
2h=0,62gr2R2t+2H
Чтобы найти время за которое вытечет вся вода, подставим h=0:
0,62gr2R2t+2H=0
t=2H0,6gR2r2=22.450,6100.920.032=1050
Таким образом, вся вода вытечет из бака за 1050 секунд (17,5 мин).

Комментариев нет:

Отправить комментарий