Решение
Пусть h(t) - высота уровня воды в баке над отверстием в момент времени t. Через промежуток времени Δt уровень воды понизится до h(t+Δt).

Тогда объем воды вытекшей из бака за это время:
(h(t)−h(t+Δt))πR2
С другой стороны, объем воды вытекшей из отверстия:
πr20,6√2gh(t)Δt
Поскольку эти объемы равны:
(h(t)−h(t+Δt))R2=r20,6√2g(t)Δt
Получаем дифференциальное уравнение:
dhdt=−0,6√2gr2R2√h
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
dh√h=−0,6√2gr2R2dt
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
∫dh√h=−0,6√2gr2R2∫dt
2√h=−0,6√2gr2R2t+C
Поскольку в момент времени t=0, бак был полон, то h(0)=H. Подставив это условие в общее решение получим C=2√H:
2√h=−0,6√2gr2R2t+2√H
Чтобы найти время за которое вытечет вся вода, подставим h=0:
−0,6√2gr2R2t+2√H=0
t=√2√H0,6√gR2r2=√2√2.450,6√100.920.032=1050
Таким образом, вся вода вытечет из бака за 1050 секунд (17,5 мин).
Комментариев нет:
Отправить комментарий