Задача 90. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Вычислить время падения мяча с высоты $16,3 \ м$ без начальной скорости с учетом сопротивления воздуха (вес мяча $0,4 \ кГ$, сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно $0,48 \ Г$ при скорости $1 \ м/сек$). Найти скорость в конце падения.

Решение
Пусть $v(t)$ скорость мяча в момент времени $t$. На мяч действуют две силы: сила тяжести $P=mg$ и сила сопротивления $F=−kv^2$ (поскольку по условию задачи сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости), где $m$ - масса мяча, $g=10 \ м/с^2$ - ускорение свободного падения, $k$ - коэффициент пропорциональности.
Согласно второму закону Ньютона получаем дифференциальное уравнение:
$$m\frac{dv}{dt}=mg-kv^2.$$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

$$\frac{m}{k}\frac{1}{\frac{mg}{k}-v^2}dv=dt$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\frac{m}{k}\int\frac{1}{\frac{mg}{k}-v^2}dv=\int dt$$
Воспользуемся табличным интегралом:
$$\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{a+x}{a-x}\right\rvert+C; \ a=\sqrt{\frac{mg}{k}}.$$

$$\frac{m}{k}\int \frac{1}{\frac{mg}{k} -v^2}dv=\frac{m}{2k}\sqrt{\frac{k}{mg}}\ln\left\lvert\frac{\sqrt{\frac{mg}{k}}+v}{\sqrt{\frac{mg}{k}}-v}\right\rvert+C$$
Получаем общее решение:
$$\frac{m}{2k}\sqrt{\frac{k}{mg}}\ln\left\lvert\frac{\sqrt{\frac{mg}{k}}+v}{\sqrt{\frac{mg}{k}}-v}\right\rvert=t+C$$
$$\frac{\sqrt{\frac{mg}{k}}+v}{\sqrt{\frac{mg}{k}}-v}=C_1e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}$$
Так как $v(0)=0$, то $C_1=1$:
$$\frac{\sqrt{\frac{mg}{k}}+v}{\sqrt{\frac{mg}{k}}-v}=e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}$$
Выразим $v$:
$$\sqrt{\frac{mg}{k}}+v=\Bigl(\sqrt{\frac{mg}{k}}-v\Bigr)e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}$$
$$v\Bigl(1+e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}\Bigr)=\sqrt{\frac{mg}{k}}\Bigl(e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}-1\Bigr)$$
$$v=\sqrt{\frac{mg}{k}}\frac{e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}-1}{1+e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}}$$
$$v=\sqrt{\frac{mg}{k}}\text{th} \Bigl(\sqrt{\frac{kg}{m}}t\Bigr)$$
Найдем пройденное расстояние:
$$s(t)=\int v(t) \ dt =\sqrt{\frac{mg}{k}}\int \text{th} \Bigl(\sqrt{\frac{kg}{m}}t\Bigr)=\frac{m}{k}\ln\Bigl(\text{ch}\Bigl(\sqrt{\frac{kg}{m}}t\Bigr)\Bigr)+C$$
Так как $s(0)=0$, то $C=0$:
$$s(t)=\frac{m}{k}\ln\Bigl(\text{ch}\Bigl(\sqrt{\frac{kg}{m}}t\Bigr)\Bigr)$$
Выразим $t$:
$$\text{ch}\Bigl(\sqrt{\frac{kg}{m}}t\Bigr)=e^{\frac{ks}{m}}$$
$$\sqrt{\frac{kg}{m}}t=\ln ( e^{\frac{ks}{m}}+\sqrt{e^{2\frac{ks}{m}}-1} )$$
$$t=\sqrt{\frac{m}{kg}}\ln ( e^{ks/m}+\sqrt{e^{2ks/m}-1} )$$

Подставив в полученную формулу исходные данные, мы получим время падения мяча.
Поскольку вес мяча и сопротивление воздуха заданы в килограмм-силах, то для силы тяжести получаем получаем:
$$m=\frac{P}{g}=\frac{0,4}{10}=0,04$$
Для силы сопротивления:
$$k=0,00048 \frac{кГ\cdot с^2}{м^2}$$
Поскольку мяч падал с высоты $16,3 \ м$, то $s=16,3$.
Получаем:
$$t=\sqrt{\frac{0,04}{0,00048\cdot 10}}\ln ( e^{0,00048\cdot 16,3/0,04}+\sqrt{e^{2\cdot 0,00048\cdot 16,3/0,04}-1} )\approx 1,86$$
Найдем скорость в конце падения:
$$v(1,86)=\sqrt{\frac{0,04 \cdot 10}{0,00048}}\text{th} \Bigl(\sqrt{\frac{0,00048 \cdot 10}{0,04}}1,86\Bigr)\approx 16,39$$
Таким образом, время падения $1,86 \ сек$, скорость в конце падения $16,39 \ м/сек$.