Задача 90. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Вычислить время падения мяча с высоты \(16,3 \ м\) без начальной скорости с учетом сопротивления воздуха (вес мяча \(0,4 \ кГ\), сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно \(0,48 \ Г\) при скорости \(1 \ м/сек\)). Найти скорость в конце падения.

Решение
Пусть \(v(t)\) скорость мяча в момент времени \(t\). На мяч действуют две силы: сила тяжести \(P=mg\) и сила сопротивления \(F=−kv^2\) (поскольку по условию задачи сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости), где \(m\) - масса мяча, \( g=10 \ м/с^2\) - ускорение свободного падения, \(k\) - коэффициент пропорциональности.
Согласно второму закону Ньютона получаем дифференциальное уравнение:
\[m\frac{dv}{dt}=mg-kv^2.\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

\[\frac{m}{k}\frac{1}{\frac{mg}{k}-v^2}dv=dt\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\frac{m}{k}\int\frac{1}{\frac{mg}{k}-v^2}dv=\int dt\]
Воспользуемся табличным интегралом:
\[\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{a+x}{a-x}\right\rvert+C; \ a=\sqrt{\frac{mg}{k}}.\]

\[\frac{m}{k}\int \frac{1}{\frac{mg}{k} -v^2}dv=\frac{m}{2k}\sqrt{\frac{k}{mg}}\ln\left\lvert\frac{\sqrt{\frac{mg}{k}}+v}{\sqrt{\frac{mg}{k}}-v}\right\rvert+C\]
Получаем общее решение:
\[\frac{m}{2k}\sqrt{\frac{k}{mg}}\ln\left\lvert\frac{\sqrt{\frac{mg}{k}}+v}{\sqrt{\frac{mg}{k}}-v}\right\rvert=t+C\]
\[\frac{\sqrt{\frac{mg}{k}}+v}{\sqrt{\frac{mg}{k}}-v}=C_1e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}\]
Так как \(v(0)=0\), то \(C_1=1\):
\[\frac{\sqrt{\frac{mg}{k}}+v}{\sqrt{\frac{mg}{k}}-v}=e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}\]
Выразим \(v\):
\[\sqrt{\frac{mg}{k}}+v=\Bigl(\sqrt{\frac{mg}{k}}-v\Bigr)e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}\]
\[v\Bigl(1+e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}\Bigr)=\sqrt{\frac{mg}{k}}\Bigl(e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}-1\Bigr)\]
\[v=\sqrt{\frac{mg}{k}}\frac{e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}-1}{1+e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}}\]
\[v=\sqrt{\frac{mg}{k}}\text{th} \Bigl(\sqrt{\frac{kg}{m}}t\Bigr)\]
Найдем пройденное расстояние:
\[s(t)=\int v(t) \ dt =\sqrt{\frac{mg}{k}}\int \text{th} \Bigl(\sqrt{\frac{kg}{m}}t\Bigr)=\frac{m}{k}\ln\Bigl(\text{ch}\Bigl(\sqrt{\frac{kg}{m}}t\Bigr)\Bigr)+C\]
Так как \(s(0)=0\), то \(C=0\):
\[s(t)=\frac{m}{k}\ln\Bigl(\text{ch}\Bigl(\sqrt{\frac{kg}{m}}t\Bigr)\Bigr)\]
Выразим \(t\):
\[\text{ch}\Bigl(\sqrt{\frac{kg}{m}}t\Bigr)=e^{\frac{ks}{m}}\]
\[\sqrt{\frac{kg}{m}}t=\ln ( e^{\frac{ks}{m}}+\sqrt{e^{2\frac{ks}{m}}-1} )\]
\[t=\sqrt{\frac{m}{kg}}\ln ( e^{ks/m}+\sqrt{e^{2ks/m}-1} )\]

Подставив в полученную формулу исходные данные, мы получим время падения мяча.
Поскольку вес мяча и сопротивление воздуха заданы в килограмм-силах, то для силы тяжести получаем получаем:
\[m=\frac{P}{g}=\frac{0,4}{10}=0,04\]
Для силы сопротивления:
\[k=0,00048 \frac{кГ\cdot с^2}{м^2}\]
Поскольку мяч падал с высоты \(16,3 \ м\), то \(s=16,3\).
Получаем:
\[t=\sqrt{\frac{0,04}{0,00048\cdot 10}}\ln ( e^{0,00048\cdot 16,3/0,04}+\sqrt{e^{2\cdot 0,00048\cdot 16,3/0,04}-1} )\approx 1,86 \]
Найдем скорость в конце падения:
\[v(1,86)=\sqrt{\frac{0,04 \cdot 10}{0,00048}}\text{th} \Bigl(\sqrt{\frac{0,00048 \cdot 10}{0,04}}1,86\Bigr)\approx 16,39\]
Таким образом, время падения \(1,86 \ сек\), скорость в конце падения \(16,39 \ м/сек\).