Задача 89. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Футбольный мяч весом $0,4 \ кГ$ брошен вверх со скоростью $20 \ м/сек$. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно $0,48 \ Г$ при скорости $1 \ м/сек$. Вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема. Как изменятся эти результаты, если пренебречь сопротивлением воздуха? Ускорение силы тяжести считать равным $10 \ м/сек^2$.

Решение
Пусть $v(t)$ скорость мяча в момент времени $t$. На мяч действуют две силы: сила тяжести $P=-mg$ (направлена против движения мяча) и сила сопротивления $F=−kv^2$ (поскольку по условию задачи сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости), где $m$ - масса мяча, $g=10 \ м/с^2$ - ускорение свободного падения, $k$ - коэффициент пропорциональности.
Согласно второму закону Ньютона получаем дифференциальное уравнение:
$$m\frac{dv}{dt}=-mg-kv^2.$$
Поскольку вес мяча и сопротивление воздуха заданы в килограмм-силах, то для силы тяжести получаем получаем:
$$m=\frac{P}{g}=\frac{0,4}{10}=0,04$$
Для силы сопротивления:
$$k=0,00048 \frac{кГ\cdot с^2}{м^2}$$
Тогда уравнение имеет вид:
$$\frac{dv}{dt}=-10-0,012v^2.$$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$\frac{dv}{dt}=-0,012\Bigl(\frac{10}{0,012}+v^2\Bigr).$$
$$\frac{1}{\frac{10}{0,012}+v^2} dv=-0,012 dt$$

Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{1}{\frac{10}{0,012}+v^2} dv=-0,012 \int dt$$
Воспользуемся табличным интегралом:
$$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\text{arctg} \frac{x}{a}+C; \ a=\frac{10}{0,012}.$$
$$\int \frac{1}{\frac{10}{0,012}+v^2} dv=\sqrt{0,0012}\ \text{arctg}(\sqrt{0,0012} \cdot v) +C$$
Получаем:
$$\sqrt{0,0012}\ \text{arctg}(\sqrt{0,0012} \cdot v)=-0,012t+C$$
$$\text{arctg}(\frac{\sqrt{0,12}}{10} \cdot v) =10\frac{-0,012t+C}{\sqrt{0,12} }=\frac{10\cdot 0,012(C_1-t)}{\sqrt{0,12}}=\sqrt{0,12}(C_1-t)$$

Таким образом, зависимость скорости от времени имеет вид:
$$v=\frac{10}{\sqrt{0,12}}\text{tg}\Bigl(\sqrt{0,12}(C_1-t) \Bigr).$$
Так как в начальный момент скорость мяча 20 м/сек, то $v(0)=20$, соответственно получаем:
$$C_1=\frac{1}{\sqrt{0,12}}\text{arctg}(2\sqrt{0,12})$$
$$v=\frac{10}{\sqrt{0,12}}\text{tg}\Bigl(\text{arctg}(2\sqrt{0,12})-t\sqrt{0,12} \Bigr).$$
Чтобы вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема, найдем момент в который скорость стала равна нулю:
$$v=0 \ \Rightarrow \ \text{tg}\Bigl(\text{arctg}(2\sqrt{0,12})-t\sqrt{0,12} \Bigr)=0$$
$$t=\frac{1}{\sqrt{0,12}}\text{arctg}(2\sqrt{0,12})\approx1,75$$

Таким образом, скорость будет равна нулю в момент времени $t=1,75 \ с$ и в это же время будет достигнута наибольшая высота подъема.
Чтобы найти высоту подъема проинтегрируем зависимость скорости от времени:
$$s(t)=\frac{10}{\sqrt{0,12}}\int \text{tg}(\text{arctg}(2\sqrt{0,12})-t\sqrt{0,12})dt=\\=\frac{10}{0,12}\int \frac{d(\cos(\text{arctg}(2\sqrt{0,12})-t\sqrt{0,12} ))}{\cos(\text{arctg}(2\sqrt{0,12})-t\sqrt{0,12} )}dt=\\=\frac{10}{0,12}\ln|\cos(\text{arctg}(2\sqrt{0,12})-t\sqrt{0,12} )|+C$$
Так как в начальный момент $s(0)=0$, то:
$$C=-\frac{10}{0,12}\ln(\cos(\text{arctg}(2\sqrt{0,12}))\approx 16,33$$
Получаем:
$$s=\frac{10}{0,12}\ln|\cos(\text{arctg}(2\sqrt{0,12})-t\sqrt{0,12} )|+16,33$$
Подставив $t=1,75$ получим:
$$s(1,75)=\frac{10}{0,12}\ln|\cos(\text{arctg}(2\sqrt{0,12})-1,75\sqrt{0,12} )|+16,33\approx 16,33$$
Таким образом, через $1,75 \ с$ мяч достигнет наибольшей высоты $16,33 \ м$.

Рассмотрим теперь случай, в котором сопротивлением воздуха можно пренебречь. Дифференциальное уравнение принимает вид:
$$\frac{dv}{dt}=-10.$$
Разделяя переменные и интегрируя, мы получим общее решение:
$$v=-10t+C.$$
Так как в начальный момент скорость мяча $20 \ м/сек$, то $v(0)=20$, соответственно получаем: $C=20$.
Таким образом, зависимость скорости от времени имеет вид:
$$v=-10t+20.$$
Чтобы вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема, найдем момент в который скорость стала равна нулю:
$$v=0 \ \Rightarrow \ -10t+20=0 \ \Rightarrow \ t=2$$
Чтобы найти высоту подъема проинтегрируем зависимость скорости от времени:
$$s(t)=\int (-10t+20)dt=-5t^2+20t+C$$
Так как в начальный момент $s(0)=0$, то: $C=0$.
Подставив $t=2$ получим:
$$s(2)=-5\cdot 2^2+20\cdot 2=20$$
Таким образом, если пренебречь сопротивлением воздуха, то через $2\ с$ мяч достигнет наибольшей высоты $20 \ м$.