Футбольный мяч весом \(0,4 \ кГ\) брошен вверх со скоростью \(20 \ м/сек\). Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно \(0,48 \ Г\) при скорости \(1 \ м/сек\). Вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема. Как изменятся эти результаты, если пренебречь сопротивлением воздуха? Ускорение силы тяжести считать равным \(10 \ м/сек^2\).
Решение
Пусть \(v(t)\) скорость мяча в момент времени \(t\). На мяч действуют две силы: сила тяжести \(P=-mg\) (направлена против движения мяча) и сила сопротивления \(F=−kv^2\) (поскольку по условию задачи сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости), где \(m\) - масса мяча, \( g=10 \ м/с^2\) - ускорение свободного падения, \(k\) - коэффициент пропорциональности.
Согласно второму закону Ньютона получаем дифференциальное уравнение:
\[m\frac{dv}{dt}=-mg-kv^2.\]
Поскольку вес мяча и сопротивление воздуха заданы в килограмм-силах, то для силы тяжести получаем получаем:
\[m=\frac{P}{g}=\frac{0,4}{10}=0,04\]
Для силы сопротивления:
\[k=0,00048 \frac{кГ\cdot с^2}{м^2}\]
Тогда уравнение имеет вид:
\[\frac{dv}{dt}=-10-0,012v^2.\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{dv}{dt}=-0,012\Bigl(\frac{10}{0,012}+v^2\Bigr).\]
\[\frac{1}{\frac{10}{0,012}+v^2} dv=-0,012 dt\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{\frac{10}{0,012}+v^2} dv=-0,012 \int dt\]
Воспользуемся табличным интегралом:
\[\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\text{arctg} \frac{x}{a}+C; \ a=\frac{10}{0,012}.\]
\[\int \frac{1}{\frac{10}{0,012}+v^2} dv=\sqrt{0,0012}\ \text{arctg}(\sqrt{0,0012} \cdot v) +C\]
Получаем:
\[\sqrt{0,0012}\ \text{arctg}(\sqrt{0,0012} \cdot v)=-0,012t+C\]
\[\text{arctg}(\frac{\sqrt{0,12}}{10} \cdot v) =10\frac{-0,012t+C}{\sqrt{0,12} }=\frac{10\cdot 0,012(C_1-t)}{\sqrt{0,12}}=\sqrt{0,12}(C_1-t)\]
Таким образом, зависимость скорости от времени имеет вид:
\[v=\frac{10}{\sqrt{0,12}}\text{tg}\Bigl(\sqrt{0,12}(C_1-t) \Bigr).\]
Так как в начальный момент скорость мяча 20 м/сек, то \(v(0)=20\), соответственно получаем:
\[C_1=\frac{1}{\sqrt{0,12}}\text{arctg}(2\sqrt{0,12})\]
\[v=\frac{10}{\sqrt{0,12}}\text{tg}\Bigl(\text{arctg}(2\sqrt{0,12})-t\sqrt{0,12} \Bigr).\]
Чтобы вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема, найдем момент в который скорость стала равна нулю:
\[v=0 \ \Rightarrow \ \text{tg}\Bigl(\text{arctg}(2\sqrt{0,12})-t\sqrt{0,12} \Bigr)=0\]
\[t=\frac{1}{\sqrt{0,12}}\text{arctg}(2\sqrt{0,12})\approx1,75\]
Таким образом, скорость будет равна нулю в момент времени \(t=1,75 \ с\) и в это же время будет достигнута наибольшая высота подъема.
Чтобы найти высоту подъема проинтегрируем зависимость скорости от времени:
\[s(t)=\frac{10}{\sqrt{0,12}}\int \text{tg}(\text{arctg}(2\sqrt{0,12})-t\sqrt{0,12})dt=\\=\frac{10}{0,12}\int \frac{d(\cos(\text{arctg}(2\sqrt{0,12})-t\sqrt{0,12} ))}{\cos(\text{arctg}(2\sqrt{0,12})-t\sqrt{0,12} )}dt=\\=\frac{10}{0,12}\ln|\cos(\text{arctg}(2\sqrt{0,12})-t\sqrt{0,12} )|+C\]
Так как в начальный момент \(s(0)=0\), то:
\[C=-\frac{10}{0,12}\ln(\cos(\text{arctg}(2\sqrt{0,12}))\approx 16,33\]
Получаем:
\[s=\frac{10}{0,12}\ln|\cos(\text{arctg}(2\sqrt{0,12})-t\sqrt{0,12} )|+16,33\]
Подставив \(t=1,75 \) получим:
\[s(1,75)=\frac{10}{0,12}\ln|\cos(\text{arctg}(2\sqrt{0,12})-1,75\sqrt{0,12} )|+16,33\approx 16,33\]
Таким образом, через \(1,75 \ с\) мяч достигнет наибольшей высоты \(16,33 \ м\).
Рассмотрим теперь случай, в котором сопротивлением воздуха можно пренебречь. Дифференциальное уравнение принимает вид:
\[\frac{dv}{dt}=-10.\]
Разделяя переменные и интегрируя, мы получим общее решение:
\[v=-10t+C.\]
Так как в начальный момент скорость мяча \(20 \ м/сек\), то \(v(0)=20\), соответственно получаем: \(C=20\).
Таким образом, зависимость скорости от времени имеет вид:
\[v=-10t+20.\]
Чтобы вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема, найдем момент в который скорость стала равна нулю:
\[v=0 \ \Rightarrow \ -10t+20=0 \ \Rightarrow \ t=2\]
Чтобы найти высоту подъема проинтегрируем зависимость скорости от времени:
\[s(t)=\int (-10t+20)dt=-5t^2+20t+C\]
Так как в начальный момент \(s(0)=0\), то: \(C=0\).
Подставив \(t=2\) получим:
\[s(2)=-5\cdot 2^2+20\cdot 2=20\]
Таким образом, если пренебречь сопротивлением воздуха, то через \(2\ с\) мяч достигнет наибольшей высоты \(20 \ м\).
Комментариев нет:
Отправить комментарий