Задача 88. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Парашютист прыгнул с высоты 1,5 км, а раскрыл парашют на высоте 0,5 км. Сколько времени он падал до раскрытия парашюта? Известно, что предельная скорость падения человека в воздухе нормальной плотности составляет 50 м/сек. Изменением плотности с высотой пренебречь. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости.

Решение
Пусть \(v(t)\) скорость парашютиста в момент времени \(t\). На парашютиста действуют две силы: сила тяжести \(P=mg\) и сила сопротивления \(F=−kv^2\) (поскольку по условию задачи сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости), где \(m\) - масса парашютиста, \( g=9,8 \ м/с^2\) - ускорение свободного падения, \(k\) - коэффициент пропорциональности.
Согласно второму закону Ньютона получаем дифференциальное уравнение:
\[m\frac{dv}{dt}=mg-kv^2.\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{m}{mg-kv^2}dv=dt.\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{m}{mg-kv^2}dv=\int dt\]
\[\frac{m}{k}\int \frac{1}{\frac{mg}{k} -v^2}dv=\int dt\]

Воспользуемся табличным интегралом:
\[\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{a+x}{a-x}\right\rvert+C; \ a=\sqrt{\frac{mg}{k}}.\]

\[\frac{m}{k}\int \frac{1}{\frac{mg}{k} -v^2}dv=\frac{m}{2k}\sqrt{\frac{k}{mg}}\ln\left\lvert\frac{\sqrt{\frac{mg}{k}}+v}{\sqrt{\frac{mg}{k}}-v}\right\rvert+C\]
Получаем общее решение:
\[\frac{m}{2k}\sqrt{\frac{k}{mg}}\ln\left\lvert\frac{\sqrt{\frac{mg}{k}}+v}{\sqrt{\frac{mg}{k}}-v}\right\rvert=t+C\]
\[\frac{\sqrt{\frac{mg}{k}}+v}{\sqrt{\frac{mg}{k}}-v}=C_1e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}\]

Так как \(v(0)=0\), то \(C_1=1\).
Предельная скорость падения составляет 50 м/сек, а при предельной скорости ускорение \(\frac{dv}{dt}\) равно нулю, соответственно из дифференциального уравнения получаем:
\[mg-50^2k=0 \ \Rightarrow \ \frac{mg}{k}=50^2 \ \Rightarrow \ \sqrt{\frac{mg}{k}}=50 \]
И так как \(k=\frac{mg}{50^2}\), получаем:
\[2\sqrt{\frac{kg}{m}}=2\sqrt{\frac{g^2}{50^2}}=\frac{2g}{50}=\frac{2\cdot 9.8}{50}=0.392\]

Получаем, решение имеет вид:
\[\frac{50+v}{50-v}=e^{0,392\cdot t}\]
Выразим \(v\):
\[50+v=(50-v)e^{0,392\cdot t}\]
\[v(1+e^{0,392\cdot t})=50(e^{0,392\cdot t}-1)\]
Таким образом, зависимость скорости от времени имеет вид:
\[v=50\frac{e^{0,392\cdot t}-1}{1+e^{0,392\cdot t}}=50 \ \text{th} (0,196\cdot t)\]

Скорость является производной от расстояния, следовательно чтобы найти зависимость расстояния \(s(t)\) от времени \(t\), проинтегрируем скорость:
\[s=\int v dt=50\int \text{th} (0.196\cdot t)=\frac{50}{0,196} \ln \text{ch} (0,196\cdot t)+C\]
Так как \(s(0)=0\), \(C=0\).
Учитывая что расстояние которое пролетел парашютист: \(s=1,5\) км - \( 0,5\) км \(=1000\) м, найдем время:
\[1000=\frac{50}{0,196} \ln \text{ch} (0.196\cdot t)\]
\[\ln \text{ch} (0,196\cdot t)=3,92\]
\[ \text{ch} (0,196\cdot t)=e^{3,92}\approx 50,4\]
\[0,196\cdot t=\ln(50,4+\sqrt{50,4+1}\sqrt{50,4-1})\approx 4.61\]
\[ t\approx \frac{4.61}{0,196} \approx 23.54\]
Таким образом, время падения до раскрытия парашюта: 23.54 с.