Решение
Пусть v(t) скорость парашютиста в момент времени t. На парашютиста действуют две силы: сила тяжести P=mg и сила сопротивления F=−kv2 (поскольку по условию задачи сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости), где m - масса парашютиста, g=9,8 м/с2 - ускорение свободного падения, k - коэффициент пропорциональности.
Согласно второму закону Ньютона получаем дифференциальное уравнение:
mdvdt=mg−kv2.
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
mmg−kv2dv=dt.
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
∫mmg−kv2dv=∫dt
mk∫1mgk−v2dv=∫dt
Воспользуемся табличным интегралом:
∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C; a=√mgk.
mk∫1mgk−v2dv=m2k√kmgln|√mgk+v√mgk−v|+C
Получаем общее решение:
m2k√kmgln|√mgk+v√mgk−v|=t+C
√mgk+v√mgk−v=C1e2√kgmt
Так как v(0)=0, то C1=1.
Предельная скорость падения составляет 50 м/сек, а при предельной скорости ускорение dvdt равно нулю, соответственно из дифференциального уравнения получаем:
mg−502k=0 ⇒ mgk=502 ⇒ √mgk=50
И так как k=mg502, получаем:
2√kgm=2√g2502=2g50=2⋅9.850=0.392
Получаем, решение имеет вид:
50+v50−v=e0,392⋅t
Выразим v:
50+v=(50−v)e0,392⋅t
v(1+e0,392⋅t)=50(e0,392⋅t−1)
Таким образом, зависимость скорости от времени имеет вид:
v=50e0,392⋅t−11+e0,392⋅t=50 th(0,196⋅t)
Скорость является производной от расстояния, следовательно чтобы найти зависимость расстояния s(t) от времени t, проинтегрируем скорость:
s=∫vdt=50∫th(0.196⋅t)=500,196lnch(0,196⋅t)+C
Так как s(0)=0, C=0.
Учитывая что расстояние которое пролетел парашютист: s=1,5 км - 0,5 км =1000 м, найдем время:
1000=500,196lnch(0.196⋅t)
lnch(0,196⋅t)=3,92
ch(0,196⋅t)=e3,92≈50,4
0,196⋅t=ln(50,4+√50,4+1√50,4−1)≈4.61
t≈4.610,196≈23.54
Таким образом, время падения до раскрытия парашюта: 23.54 с.
Комментариев нет:
Отправить комментарий