Processing math: 100%

Задача 88. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Парашютист прыгнул с высоты 1,5 км, а раскрыл парашют на высоте 0,5 км. Сколько времени он падал до раскрытия парашюта? Известно, что предельная скорость падения человека в воздухе нормальной плотности составляет 50 м/сек. Изменением плотности с высотой пренебречь. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости.

Решение
Пусть v(t) скорость парашютиста в момент времени t. На парашютиста действуют две силы: сила тяжести P=mg и сила сопротивления F=kv2 (поскольку по условию задачи сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости), где m - масса парашютиста, g=9,8 м/с2 - ускорение свободного падения, k - коэффициент пропорциональности.
Согласно второму закону Ньютона получаем дифференциальное уравнение:
mdvdt=mgkv2.

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
mmgkv2dv=dt.

Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
mmgkv2dv=dt

mk1mgkv2dv=dt


Воспользуемся табличным интегралом:
dxa2x2=12aln|a+xax|+C; a=mgk.


mk1mgkv2dv=m2kkmgln|mgk+vmgkv|+C

Получаем общее решение:
m2kkmgln|mgk+vmgkv|=t+C

mgk+vmgkv=C1e2kgmt


Так как v(0)=0, то C1=1.
Предельная скорость падения составляет 50 м/сек, а при предельной скорости ускорение dvdt равно нулю, соответственно из дифференциального уравнения получаем:
mg502k=0  mgk=502  mgk=50

И так как k=mg502, получаем:
2kgm=2g2502=2g50=29.850=0.392


Получаем, решение имеет вид:
50+v50v=e0,392t

Выразим v:
50+v=(50v)e0,392t

v(1+e0,392t)=50(e0,392t1)

Таким образом, зависимость скорости от времени имеет вид:
v=50e0,392t11+e0,392t=50 th(0,196t)


Скорость является производной от расстояния, следовательно чтобы найти зависимость расстояния s(t) от времени t, проинтегрируем скорость:
s=vdt=50th(0.196t)=500,196lnch(0,196t)+C

Так как s(0)=0, C=0.
Учитывая что расстояние которое пролетел парашютист: s=1,5 км - 0,5 км =1000 м, найдем время:
1000=500,196lnch(0.196t)

lnch(0,196t)=3,92

ch(0,196t)=e3,9250,4

0,196t=ln(50,4+50,4+150,41)4.61

t4.610,19623.54

Таким образом, время падения до раскрытия парашюта: 23.54 с.

Комментариев нет:

Отправить комментарий