Количество света, поглощаемое слоем воды малой толщины, пропорционально количеству падающего на него света и толщине слоя. Слой воды толщиной 35 см поглощает половину падающего на него света. Какую часть света поглотит слой толщиной в 2 м?
Решение
Пусть \(x\) - толщина слоя воды, \(y(x)\) - количество света проходящего через слой воды толщины \(x\).
Тогда количество света поглощаемое слоем воды на участке \(\Delta x\): \(y(x+\Delta x)-y(x)\). Поскольку количество света, поглощаемое слоем воды, пропорционально количеству падающего света и толщине слоя:
\[y(x+\Delta x)-y(x)=ky(x)\Delta x.\]
Перейдя к пределу при \(\Delta x \to 0\), получим дифференциальное уравнение:
\[y'=ky.\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя получим общее решение:
\[y=Ce^{kx},\]
где \(y(0)=C\) - количество падающего на слой света.
Учитывая что слой воды толщиной 35 см поглощает половину падающего на него света, получим:
\[\frac{C}{2}=Ce^{35k} \ \Rightarrow \ k=-\frac{\ln 2}{35}.\]
Чтобы найти, какую часть света поглотит слой толщиной в 2 м (200 см), подставим \(x=200\).
\[y(200)=Ce^{-(200\cdot \ln 2)/35}\approx C\cdot 0.02\]
Учитывая что \(C\) это начальное количество света падающего на слой воды, получаем, что слой толщиной в 2 м поглощает \(98\%\) воды.
Комментариев нет:
Отправить комментарий