Задача 86. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

В исследованном куске горной породы содержится 100 мг урана и 14 мг уранового свинца. Известно, что уран распадается наполовину за \(4,5\cdot10^9\) лет и что при полном распаде 238 г урана образуется 206 г уранового свинца. Определить возраст горной породы. Считать, что в момент образования горная порода не содержала свинца, и пренебречь наличием промежуточных радиоактивных продуктов между ураном и свинцом (так как они распадаются намного быстрее урана).

Решение
Закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально количеству этого вещества, имеющемуся в рассматриваемый момент.
Пусть \(x(t)\) - количество урана в момент времени \(t\). Тогда, в соответствии с законом радиоактивного распада, получаем дифференциальное уравнение:
\[x'=kx.\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя получим общее решение:
\[x=Ce^{kt},\]
где \(C\) - начальное количество урана.
Так как уран распадается наполовину за \(4,5\cdot10^9\) лет, то:
\[\frac{C}{2}=Ce^{k\ 4,5\cdot10^9} \ \ \Rightarrow \ k=-\frac{\ln 2}{4,5\cdot10^9}.\]
Найдем начальное количество урана. Пусть \(u\) - количество урана из которого образовалось 14 мг. Учитывая что при полном распаде 238 г урана образуется 206 г уранового свинца и тот факт что в породе содержится 14 мг уранового свинца, составим пропорцию:
\[\frac{u}{14}=\frac{238}{206} \ \Rightarrow \ u=14\frac{238}{206}\approx 16,17 \]
Тогда начальное количество урана \(C=100+16,17=116,17\). Получаем решение:
\[x=116,17e^{-t\ln 2 / 4,5\cdot10^9}.\]

Так как на текущий момент в куске горной породы содержится 100 мг урана, подставим в уравнение \(x=100\) и найдем \(t\).
\[100=116,17e^{-t\ln 2 / 4,5\cdot10^9} \ \Rightarrow \ t=-\ln\frac{100}{116,17}\frac{4,5\cdot10^9}{\ln2}\approx 9.73 \cdot 10^8\]
Таким образом, возраст горной породы: \(9.73 \cdot 10^8\) лет.