Согласно опытам, в течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг. Через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия?
Решение
Закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально количеству этого вещества, имеющемуся в рассматриваемый момент.
Пусть \(x(t)\) - количество радия в момент времени \(t\). Тогда, в соответствии с законом радиоактивного распада, получаем дифференциальное уравнение:
\[x'=kx.\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя получим общее решение:
\[x=Ce^{kt}.\]
В момент времени \(t=0\), получаем начальное количество вещества \(x(0)=C\). Тогда, учитывая, что в течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг, получаем: \(x(1)=(1-0,00044)C=0,99956C\).
Подставив условия в решение получаем: \(k=\ln(0,99956)\).
Получаем решение:
\[x=Ce^{t\ln(0,99956)}.\]
Чтобы определить, через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия, подставим в решение \(x=C/2\).
\[\frac{1}{2}C=Ce^{t\ln(0,99956)}\]
\[t=\frac{\ln(0,5)}{\ln(0,99956)}\approx 1574.99\]
Таким образом, половина имеющегося количества радия распадется через 1574.99 года.
Спасибо!
ОтветитьУдалить