Задача 84. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

За 30 дней распалось \(50\%\) первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется \(1\%\) от первоначального количества?

Решение
Закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально количеству этого вещества, имеющемуся в рассматриваемый момент.
Пусть \(x(t)\) - количество радиоактивного вещества в момент времени \(t\). Тогда, в соответствии с законом радиоактивного распада, получаем дифференциальное уравнение:
\[x'=kx.\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя получим общее решение:
\[x=Ce^{kt}.\]
В момент времени \(t=0\), получаем начальное количество вещества \(x(0)=C\).
Учитывая, что за 30 дней распалось \(50\%\) первоначального количества радиоактивного вещества, получаем условие \(x(30)=0,5C\). Следовательно:
\[0,5C=Ce^{30k} \ \Rightarrow \ k=\frac{\ln(0,5)}{30}\]
Таким образом, получаем решение удовлетворяющее начальным условиям:
\[x=Ce^{t\ln(0,5)/30}.\]
Чтобы найти, через сколько времени останется \(1\%\) от первоначального количества, подставим в решение \(x=0.01C\):
\[0,01C=Ce^{t\ln(0,5)/30} \ \Rightarrow \ t=30\frac{\ln(0,01)}{\ln(0,5)}\approx199,31\]
Таким образом, \(1\%\) от первоначального количества останется через 199,31 дней.