Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1,5 м/сек, через 4 сек скорость ее 1 м/сек. Когда скорость уменьшится до 1 см/сек? Какой путь может пройти лодка до остановки?
Решение
Пусть \(v(t)\) - скорость лодки в момент времени \(t\). Тогда, согласно второму закону Ньютона:
\[mv'=F\]
где \(m\) - масса лодки, \(F\) - сила сопротивления воды.
Так как скорость лодки пропорциональна сопротивлению воды, то \(F=kv\). Получаем уравнение:
\[v'=\frac{k}{m}v=k_1v.\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя получим общее решение:
\[v=Ce^{k_1t}\]
Подставив начальные условия \(v(0)=1,5\) и \(v(4)=1\), получим:
\[C=1,5; \ k_1=\frac{1}{4}\ln\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr).\]
Получаем, скорость движения лодки:
\[v=1,5e^{0,25\ln(2/3)t}\]
Подставляя \(v=1 см/сек=0,01 м/сек\), получим время:
\[0,01=1,5e^{0,25\ln(2/3)t}\]
\[0,25\ln(2/3)t=\ln(0,01/1,5)\]
\[t=4\frac{\ln(0,01/1,5)}{\ln(2/3)}\approx49.43\]
Таким образом, скорость уменьшится до 1 см/сек через 49.43 сек.
Так как скорость, это производная от пути, то есть \(s'(t)=v(t)\). Найдем \(s(t)\):
\[s=\int 1,5e^{0,25\ln(2/3)t}=\frac{1,5}{0,25\ln(2/3)}e^{0,25\ln(2/3)t}+C\]
Так как \(s(0)=0\), то получаем:
\[C=-\frac{1,5}{0,25\ln(2/3)} \ \Rightarrow \ s=\frac{1,5}{0,25\ln(2/3)}(e^{0,25\ln(2/3)t}-1)\]
Так как \(v(t)=0\) при \(t\to \infty\), то путь который лодка пройдет до остановки равен:
\[\lim \limits_{t \to \infty}s(t)=-\frac{1,5}{0,25\ln(2/3)}\approx14.8\]
Таким образом, путь который лодка пройдет до остановки: 14.8 м.
Комментариев нет:
Отправить комментарий