Задача 82. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Кусок металла с температурой \(a\) градусов помещен в печь, температура которой в течение часа равномерно повышается от \(a\) градусов до \(b\) градусов. При разности температур печи и металла в \(T\) градусов металл нагревается со скоростью \(kT\) градусов в минуту. Найти температуру металла через час.

Решение
Пусть \(x(t)\) - температура металла в момент времени \(t\), \(y(t)\) - температура печи в момент времени \(t\).
Поскольку температура в печи повышается равномерно (по прямой) от \(a\) градусов до \(b\) градусов за час (60 минут), то \(y(0)=a\), \(y(60)=b\). Составив уравнение прямой проходящей через эти две точки, получим:
\[\frac{t}{60}=\frac{y-a}{b-a} \ \Rightarrow \ y=a+\frac{b-a}{60}t\]
Из условия нагревания металла получаем:
\[x'=k(y-x)\]
Подставив \(y\), получим дифференциальное уравнение:
\[x'=k(a+\frac{b-a}{60}t-x)\]
Введем замену \(z=a+\frac{b-a}{60}t-x\). Тогда \(z'=\frac{b-a}{60}-x'\). Получаем:

\[z'=\frac{b-a}{60}-kz\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{60}{b-a-60kz}=dt\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{60}{b-a-60kz}=\int dt\]
\[-\frac{1}{k}\ln(60kz+a-b)=t+C\]

\[60kz+a-b=C_1e^{-kt}\]
Введем обратную замену \(z=a+\frac{b-a}{60}t-x\):
\[60k(a+\frac{b-a}{60}t-x)+a-b=C_1e^{-kt}\]
\[60ka+(b-a)(kt-1)-60kx=C_1e^{-kt}\]
\[x=a+\frac{(b-a)(kt-1)}{60k}-\frac{C_1e^{-kt}}{60k}\]
Таким образом, общее решение имеет вид:
\[x=a+\frac{(b-a)(kt-1)}{60k}-\frac{C_1e^{-kt}}{60k}.\]
Так как \(x(0)=a\), подставив это условие в общее решение, получим: \(C_1=-(b-a)\).
Тогда решение принимает вид:
\[x=a+\frac{(b-a)(kt-1+e^{-kt})}{60k}.\]
Температура металла через час:
\[x(60)=a+\frac{(b-a)(60k-1+e^{-60k})}{60k}.\]