Задача 81. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

В сосуд, содержащий \(1\) кг воды при температуре \(20^o\), опущен алюминиевый предмет с массой \(0,5\) кг, удельной теплоемкостью \(0,2\) и температурой \(75^o\). Через минуту вода нагрелась на \(2^o\). Когда температура воды и предмета будет отличаться одна от другой на \(1^o\)? Потерями тепла на нагревание сосуда и прочими пренебречь.

Решение
Пусть \(x(t)\) - температура предмета в момент времени \(t\), \(y(t)\) - температура воды в момент времени \(t\). Учитывая, что скорость остывания (или нагревания) предмета пропорциональна разности температур предмета и воды, получаем уравнения:
\[x'=k_1(x-y), \ y'=k_2(y-x).\]
Пусть \(z(t)=x(t)-y(t)\) разница температур между предметом и водой в момент времени \(t\). Тогда получаем:
\[z'=kz.\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя получим общее решение:
\[z=Ce^{kt}.\]
Из условий задачи получаем, при \(t=0\), \(z(0)=75^o-20^o=55^o\).
Подставив в общее уравнение, получим: \(C=55\).

Чтобы найти \(k\), запишем уравнение теплового баланса (слева тепло выделенное предметом, справа тепло поглощенное водой):
\[0,2c_в m_п(x(0)-x(t))=c_в m_в(y(0)-y(t))\]
где \(c_в\) - удельная теплоемкость воды, \(m_п\) - масса предмета, \(m_в\) - масса воды.
Поскольку через минуту вода нагрелась на \(2^o\) (то есть \(y(0)-y(1)=2\)), то справа мы получаем:

\[c_в m_в(y(0)-y(t))=c_в \cdot 1 \cdot 2=2c_в\]
Тогда из уравнения теплового баланса получаем:
\[0,2 \cdot 0,5(75-x(1))=2\]
\[x(1)=55\]
Получаем в момент времени \(t=1\), \(x(1) =55\), \(y(1)=22\). Следовательно \(z(1)=55-22=33\).
Подставим это условие и \(C=55\) в общее решение \(z=Ce^{kt}\):
\[33=55e^{k}\]
\[k=ln(0,6)\]
Получаем решение удовлетворяющее начальным условиям:
\[z=55e^{t\ln(0,6)}\]
Чтобы определить, в какой момент времени температура воды и предмета будет отличаться на \(1^o\) подставим \(z=1\) в решение:
\[1=55e^{t\ln(0,6)} \ \Rightarrow \ t=\ln(1/55)/\ln(0,6))\approx 7,84 \ мин.\]
Таким образом, температура воды и предмета будет отличаться на \(1^o\) через 7,84 минуты.