Задача 80. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Тело охладилось за \(10\) мин от \(100^o\) до \(60^o\). Температура окружающего воздуха поддерживается равной \(20^o\). Когда тело остынет до \(25^o\)?

Решение
Пусть \(x(t)\) - температура тела в момент времени \(t\). Учитывая, что скорость остывания (или нагревания) тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, получаем уравнение:
\[x'=k(x-20).\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1}{x-20} dx=k \ dt\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{x-20} dx=\int k \ dt\]
\[\ln|x-20|=kt+C\]
\[x=20+C_1e^{kt}\]
Таким образом, получаем общее решение: \(x=20+C_1e^{kt}\).

Из условий задачи получаем, при \(t=0\), \(x(0)=100^o\), при \(t=10\), \(x(10)=60^o\).
Подставив в общее уравнение, получим:
\[C_1=80; \ k=\frac{\ln(0.5)}{10}=-0,1 \ln(2).\]
Таким образом, решение удовлетворяющее начальным условиям:
\[x=20+80e^{-0,1t\ln2 }\]
Чтобы определить, через какое время тело остынет до \(25^o\), подставим \(x=25\) в решение:
\[25=20+80e^{-0,1t\ln2 }\]
\[e^{-0,1t\ln2 }=0,0625\]
\[t=-10\ln(0,0625)/\ln(2)=40\]
Таким образом, тело остынет до \(25^o\) через 40 минут.