В воздухе комнаты объемом \(200 \ м^3\) содержится \(0,15\%\) углекислого газа (\(CO_2\)). Вентилятор подает в минуту \(20 \ м^3\) воздуха, содержащего \(0,04\% \ CO_2\). Через какое время количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшится втрое?
Решение
Пусть \(x(t)\) - количество углекислого газа в комнате в момент времени \(t\).
По условию задачи, в комнату за время \(dt\) поступает \(\frac{20\cdot 0,04}{100} \ dt=0,008\ dt\) \(м^3\) углекислого газа.
Концентрация выходящего углекислого газа: \(x(t)/200\). Тогда, учитывая что выходит \(20\ м^3\) воздуха, получаем количество выходящего углекислого газа за время \(dt\):
\[\frac{20 \cdot x(t)}{200}dt=0,1x(t) \ dt\]
Учитывая входящий и выходящий углекислый газ, получаем:
\[dx=0,008\ dt-0,1x(t) \ dt\]
Получаем дифференциальное уравнение:
\[dx=(0,008-0,1x) dt\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1}{0,008-0,1x} dx= dt\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{0,008-0,1x} dx=\int dt\]
\[-10\ln|25x-2|=t+C\]
\[\ln|25x-2|=-0.1t-0.1C\]
\[25x-2=C_1e^{-0.1t}\]
\[x=0.04C_1e^{-0.1t}+0.08\]
Таким образом, получаем общее решение: \(x=C_2e^{-0.1t}+0.08\).
Из условий задачи получаем, при \(t=0\), \(x(0)=\frac{200 \cdot 0,15}{100}=0,3 \ м^3\).
Подставив в общее уравнение, получим: \(C_2=0.22\).
Таким образом, решение удовлетворяющее начальным условиям:
\[x=0.22e^{-0.1t}+0.08.\]
Чтобы определить, через какое время количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшится втрое, то есть станет 0,1 \(м^3\), подставим 0,1 в решение:
\[0,1=0.22e^{-0.1t}+0.08\]
\[e^{0.1t}=11\]
\[t=10\ln 11\approx24\]
Таким образом, количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшится втрое через 24 минуты.
Комментариев нет:
Отправить комментарий