В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак непрерывно подается вода (5 л в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Сколько соли в баке останется через час?
Решение
Пусть \(x(t)\) - количество соли в баке в момент времени \(t\).
По условию задачи, доля вытекающей соли: \(x(t)/100\). Тогда учитывая что вытекает 5 л смеси, получаем количество вытекающей соли \(dx\) за время \(dt\):
\[\frac{5\cdot x(t)}{100}dt.\]
Получаем дифференциальное уравнение:
\[dx=-\frac{x}{20}dt\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{20}{x}dx=-dt\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{20}{x}dx=-\int dt\]
\[20\ln|x|=-t+C\]
\[x=C_1e^{-t/20}\]
Таким образом, получаем общее решение: \(x=C_1e^{-t/20}\).
Из условий задачи получаем, при \(t=0\), \(x(0)=10 \ кг\).
Подставив в общее уравнение, получим: \(C_1=10\).
Таким образом, решение удовлетворяющее начальным условиям:
\[x=10e^{-t/20}.\]
Чтобы определить сколько соли останется в баке через час, подставим в решение \(t=60\) мин:
\[x(60)=10e^{-60/20}=10e^{-3}\approx 0,5\]
Таким образом, через час, в баке останется 0,5 кг соли.
Комментариев нет:
Отправить комментарий