Задача 77. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Сосуд объемом в 20 л содержит воздух (80\(\%\) азота и 20\(\%\) кислорода). В сосуд втекает 0,1 л азота в секунду, который непрерывно перемешивается, и вытекает такое же количество смеси. Через сколько времени в сосуде будет 99\(\%\) азота?

Решение
Пусть \(x(t)\) - количество литров азота в сосуде в момент времени \(t\).
По условию задачи, в сосуд за время \(dt\) поступает \(0,1 dt\) азота.
Доля вытекающего азота: \(x(t)/20\). Тогда учитывая что вытекает 0,1л смеси, получаем количество вытекающего азота за время \(dt\):
\[\frac{0,1\ x(t)}{20}dt.\]
Следовательно, количество накапливающегося азота \(dx\), которое втекает в сосуд за время \(dt\), и остается в сосуде:
\[dx=0,1 \ dt-\frac{0,1\ x(t)}{20}dt.\]
Получаем дифференциальное уравнение:
\[dx=0,1\Bigl(1-\frac{x(t)}{20}\Bigr)dt.\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1}{20-x} dx=\frac{1}{200}dt.\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{20-x} dx=\int \frac{1}{200}dt\]
\[-ln|x-20|=\frac{1}{200}t+C\]
\[x=C_1e^{-t/200}+20\]
Таким образом, получаем общее решение: \(x=C_1e^{-t/200}+20\).

Из условий задачи получаем, при \(t=0\), \(x(0)=20\cdot 0.8=16л\).
Подставив в общее уравнение, получим: \(C_1=-4\).
Таким образом, решение удовлетворяющее начальным условиям:
\[x=-4e^{-t/200}+20.\]

Чтобы определить время, для которого в сосуде будет 99\(\%\) азота, подставим в решение \(x=20 \cdot 0,99=19,8\).
\[ 19,8=-4e^{-t/200}+20\]
\[4e^{-t/200}=0,2\]
\[e^{-t/200}=0,05\]
\[e^{t/200}=20 \ \Rightarrow \ t=200\ln(20)\approx 599,15 \ сек.\]
Таким образом, 99\(\%\) азота в сосуде будет через \(599,15\) секунд.