Задача 76. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Найти кривые, касательные к которым в любой точке образуют равные углы с полярным радиусом и полярной осью.

Решение
Схематично построим кривую и углы между касательной, полярным радиусом и полярной осью:

Рассмотрим первый вариант. Исходя из условия задачи, касательная, полярный радиус и полярная ось образуют равнобедренный треугольник, следовательно:
\[\alpha=\frac{\pi-\theta}{2}\]
Так как \(\alpha\), это угол образованный касательной и полярным радиусом точки касания, то:
\[\tan \alpha=\frac{r}{r'}\]
Получаем дифференциальное уравнение:
\[\tan\frac{\pi-\theta}{2}=\frac{r}{r'}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1}{r}dr=\cot \frac{\pi-\theta}{2} d\theta\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{r}dr=\int \cot \frac{\pi-\theta}{2} d\theta\]

\[\int \cot \frac{\pi-\theta}{2} d\theta=\int \tan\frac{\theta}{2} d\theta=\int \frac{\sin\theta}{1+\cos \theta} d\theta=-\int \frac{d(1+\cos\theta)}{1+\cos \theta}=-\ln|\cos\theta+1 | +C \]
Получаем:
\[\ln|r|=-\ln|\cos\theta+1 | +C \]
\[r(\cos\theta+1)=C_1\]
Во втором случае:
\[\alpha=\frac{\theta}{2}\]
Так как \(180^o-\alpha\), это угол образованный касательной и полярным радиусом точки касания, то:
\[\tan (180^o-\alpha)=\frac{r}{r'}\]
Получаем дифференциальное уравнение:
\[-\tan\frac{\theta}{2}=\frac{r}{r'}\]
Разделяя переменные и интегрируя, получим:
\[\int \frac{1}{r}dr=-\int \cot \frac{\theta}{2} d\theta\]
\[\int \cot\frac{\theta}{2} d\theta=\int \frac{\sin\theta}{1-\cos \theta} d\theta=\int \frac{d(1-\cos\theta)}{1-\cos \theta}=\ln|1-\cos\theta | +C \]
Получаем:
\[\ln|r|=-\ln|1-\cos\theta | +C \]
\[r(1-\cos\theta)=C_1\]
Таким образом, объединяя решения получим уравнение кривых:
\[r(1 \pm \cos\theta)=C_1.\]