Задача 75. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Найти кривые, обладающие следующим свойством: если через любую точку кривой провести прямые, параллельные осям координат, до встречи с этими осями, то площадь полученного прямоугольника делится кривой в отношении 1:2.

Решение
Схематично построим кривую и прямоугольник:

Площадь прямоугольника: \(S=x\cdot y\).
Площадь фигуры под кривой:
\[S_2=\int_0^x y(x) \ dx\]
1. Пусть \(S_2=2S_1\). Поскольку \(S_1+S_2=S\) , получаем:
\[S_2=\frac{2}{3}xy=\int_0^x y(x) \ dx\]
Дифференцируя данное равенство по \(x\), получим:
\[\frac{2}{3}(y+xy')=y\]
Получаем дифференциальное уравнение семейства кривых:
\[y'=\frac{y}{2x}.\]
Найдем решение полученного дифференциального уравнения. Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1}{y} dy=\frac{1}{2x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{y} dy=\int \frac{1}{2x}dx\]
\[\ln|y|=\frac{1}{2}\ln|x|+C\]
\[y=C_1\sqrt{x}\]
2. Если \(S_1=2S_2\), то соответственно получим:
\[S_2=\frac{1}{3}xy=\int_0^x y(x) \ dx\]
Дифференцируя данное равенство по \(x\), получим:
\[\frac{1}{3}(y+xy')=y\]
Получаем дифференциальное уравнение семейства кривых:
\[y'=\frac{2y}{x}.\]
Найдем решение полученного дифференциального уравнения. Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1}{y} dy=\frac{2}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{y} dy=\int \frac{2}{x}dx\]
\[\ln|y|=2\ln|x|+C\]
\[y=C_1x^2\]
Таким образом, получаем уравнения кривых:
\[y=C_1\sqrt{x}; \ y=C_1x^2.\]