Задача 74. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания.

Решение
Построим точки соответствующие условиям:

Абсцисса точки пересечения касательной с осью абсцисс это точка \(A\). Абсцисса точки касания это точка \(B\). Тогда из условия получаем: \(2 OA=OB\) или \(AB=OB/2\).
Учитывая что \(BC=AB \cdot \tan \alpha\), \(BC=y\), \(OB=x\), \(\tan \alpha=y'\), получаем:
\[BC=AB \cdot \tan \alpha =\frac{OB}{2} \cdot \tan \alpha\]
\[y=\frac{x}{2}y'\]
\[y'=\frac{2y}{x}\]
Найдем решение полученного дифференциального уравнения. Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1}{y}dy=\frac{2}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{y}dy=\int \frac{2}{x}dx\]
\[\ln|y|=2\ln|x|+C\]
\[\ln|y|=\ln|x^2|+C\]
\[y=C_1x^2\]
Таким образом, уравнение кривых соответствующих условиям задачи: \[y=C_1x^2.\]