Задача 73. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Найти кривые, обладающие следующим свойством: отрезок оси абсцисс, отсекаемый касательной и нормалью, проведенными из произвольной точки кривой, равен \(2a\).

Решение
Построим касательную и нормаль:

Отрезок AD является суммой отрезков AB и BD.
\[BC=AB \cdot \tan \alpha \ \Rightarrow \ AB=\frac{BC}{\tan \alpha}\]
\[BD=BC\cdot \tan \alpha\]
Длина отрезка:
\[2a=AB+BD=\frac{BC}{\tan \alpha}+BC\cdot \tan \alpha=\frac{y}{y'}+yy'\]
Таким образом, получаем дифференциальное уравнение:
\[\frac{y}{y'}+yy'=2a.\]
Выразим \(y'\):
\[yy'^2-2ay'+y=0\]
Это квадратное уравнение относительно \(y'\), найдем корни:
\[y'=\frac{2a\pm\sqrt{4a^2-4y^2}}{2y}=\frac{a\pm\sqrt{a^2-y^2}}{y}\]
Область определения: \(0\lt y \leqslant a\).
Найдем решение полученного дифференциального уравнения. Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{y}{a \pm \sqrt{a^2-y^2}}dy=dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{y}{a \pm \sqrt{a^2-y^2}}dy=\int dx\]

Введем замену: \(t=a \pm \sqrt{a^2-y^2}\), \(a^2-y^2=(t - a)^2\), \(d(a^2-y^2) =2(t - a) \ dt\):
\[\int \frac{y}{a \pm \sqrt{a^2-y^2}}dy=-\frac{1}{2}\int \frac{d(a^2-y^2)}{a \pm \sqrt{a^2-y^2}}=-\int \frac{t-a}{t}dt=\\=-t+a\ln|t|+C=-a\mp \sqrt{a^2-y^2}+a\ln(a \pm \sqrt{a^2-y^2})+C\]

Получаем уравнение кривых:
\[a\ln(a \pm \sqrt{a^2-y^2})\mp \sqrt{a^2-y^2}=x+C\]