Задача 72. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Найти кривые, для которых сумма катетов треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная b.

Решение
Схематично построим треугольник в двух вариантах (для положительной и отрицательной \(y'\)):

Рассмотрим вначале \(y' \gt 0 \).
Выразим \(AB\) через \(BC\): \(BC=AB \cdot \tan \alpha\).
\[AB=\frac{BC}{\tan \alpha}\]
Сумма катетов:
\[b=AB+BC=\frac{BC}{\tan \alpha}+BC= \frac{y}{y'}+y\]

Дифференциальное уравнение имеет вид:
\[y'=\frac{y}{b-y}.\]
Найдем решение. Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{b-y}{y}dy=dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{b-y}{y}dy=\int dx\]
Получаем:
\[b\ln y-y=x+C\]
Если \(y' \lt 0\), то \(BC=AB \cdot \tan (180^o-\alpha)=-AB \cdot \tan \alpha\). Соответственно:
\[b=AB+BC=-\frac{BC}{\tan \alpha}+BC=-\frac{y}{y'}+y\]

Дифференциальное уравнение имеет вид:
\[y'=-\frac{y}{b-y}.\]
Получаем решение:
\[b\ln y-y=-x+C\]
Таким образом, объединяя решения получим:
\[b\ln y-y=\pm x+C.\]
Поскольку \(BC=y\) один из катетов, который не может быть больше суммы катетов \(b\), то \(0\lt y \lt b\).