Задача 69. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Показать, что каждая интегральная кривая уравнения \(y'= \sqrt[3]{\frac{y^2+1}{x^4+1}}\)имеет две горизонтальные асимптоты.

Решение
Разделим переменные:
\[y'=\frac{\sqrt[3]{y^2+1}}{\sqrt[3]{x^4+1}}\]
\[\frac{1}{\sqrt[3]{y^2+1}}dy=\frac{1}{\sqrt[3]{x^4+1}}dx\]
Поскольку нет необходимости находить решение уравнения в явном виде, можно просто исследовать поведение решения при \(x \to -\infty\) и \(x \to +\infty\).
Пусть \(x \to +\infty\):
\[\int_{y_0} ^{y(x)} \frac{1}{\sqrt[3]{y^2+1}}dy=\int_{x_0} ^{+\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{x^4+1}}dx\]
Несобственный интеграл \(\displaystyle \int_{x_0} ^{+\infty}\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^4+1}}dx\) сходится, следовательно существует \(C_1\), такое что:
\[\lim_{x \to +\infty}\int_{y_0} ^{y(x)} \frac{1}{\sqrt[3]{y^2+1}}dy=C_1\]
Поскольку несобственный интеграл \(\displaystyle\int_{y_0} ^{+\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{y^2+1}}dy\) расходится, то предел \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} y(x) \) существует и конечен. Это значит, что интегральная кривая имеет асимптоту \(y(+\infty)\).

Аналогично, получаем для \(x \to -\infty\):
\[\lim_{x \to -\infty}\int_{y_0} ^{y(x)} \frac{1}{\sqrt[3]{y^2+1}}dy=C_2,\]
где
\[C_2=\int_{x_0} ^{-\infty}\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^4+1}}dx.\]
Аналогично предыдущим рассуждениям, предел \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} y(x) \) существует и конечен. Это значит, что интегральная кривая имеет асимптоту \(y(-\infty)\).

Таким образом исходное уравнение описывает семейство интегральных кривых, каждая из которых имеет две горизонтальные асимптоты.

Построим интегральные кривые: