Задача 70. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Исследовать поведение интегральных кривых уравнения \(y' =\sqrt{\frac{\ln(1+y)}{\sin x}}\) в окрестности начала координат. Показать, что из каждой точки границы первого координатного угла выходит одна интегральная кривая, проходящая внутри этого угла.

Решение
1. Найдем область определения функции \(\sqrt{\frac{\ln(1+y)}{\sin x}}\)
Подкоренное выражение должно быть больше либо равно нулю:
\[\frac{\ln(1+y)}{\sin x} \ge 0\]
Для выражения \(\ln (1+y)\) получаем \(y>-1\), при этом знак \(\ln(1+y)\) зависит от \(y\), и \(\ln(1+y)\gt 0\) при \(y\gt0\) и \(\ln(1+y)\lt 0\) при \(-1\lt y\lt 0\).

Из знаменателя дроби получаем \(\sin x \ne 0\), следовательно \(x\ne n\pi\).

Получаем, чтобы подкоренное выражение было больше либо равно нулю:
для \(y\geqslant 0\), \(\sin x \gt 0\) \(\ \Rightarrow \ \)\(2n\pi \lt x \lt (2n+1)\pi\)
для \(-1\lt y\leqslant 0\), \(\sin x \lt 0\) \(\ \Rightarrow \ \)\((2n+1)\pi \lt x \lt 2(n+1)\pi\)
Таким образом, область определения:
\[D=\{2n\pi \lt x \lt (2n+1)\pi, 0\leqslant y\lt +\infty\}\cup \{(2n+1)\pi \lt x \lt 2(n+1)\pi, -1\lt y\leqslant 0\}\]

Изобразим область определения:

2. Рассмотрим поведение интегральных кривых уравнения в окрестности начала координат.
Для \(0 \lt x,x_0 \lt \pi, 0\leqslant y\lt +\infty\):
Разделяя переменные и интегрируя получим:
\[\int_{x_0} ^x \frac{dx}{\sqrt{\sin x}}=\int_{0} ^y \frac{dy}{\sqrt{\ln(1+y)}} \]
Интеграл \(\displaystyle \int_{0} ^y \frac{dy}{\sqrt{\ln(1+y)}}\) сходится, и \(\displaystyle \int_{0} ^y \frac{dy}{\sqrt{\ln(1+y)}}\gt 0\).
Соответственно:
\[\displaystyle \int_{x_0} ^x \frac{dx}{\sqrt{\sin x}} \gt 0\]
Это означает, что \(x\gt x_0 \). Учитывая что производная \(y'=\sqrt{\frac{\ln(1+y)}{\sin x}} \) всегда больше нуля, получаем что \(y=y(x) \) возрастает с возрастанием \(x\). Следовательно интегральная кривая стремится вверх вправо. Учитывая что интеграл \(\displaystyle \int_{x_0} ^x \frac{dx}{\sqrt{\sin x}}\) сходится при \(x \to \pi\), то \(y\) стремится к конечному пределу при \(x \to \pi\).
Из исходного уравнения \(y'=\sqrt{\frac{\ln(1+y)}{\sin x}} \) получаем, что при \(x \to 0\) производная \(y' \to +\infty\), при \(x\to \pi\) производная \(y' \to +\infty\).

Получаем: интегральные кривые стремятся вверх вправо, асимптотически приближаясь к прямой \(x=\pi\).

Для \(-\pi \lt x,x_0 \lt 0, -1\lt y \leqslant 0\):
Разделяя переменные и интегрируя получим:
\[\int_{x_0} ^x \frac{dx}{\sqrt{-\sin x}}=\int_{0} ^y \frac{dy}{-\sqrt{\ln(1+y)}} \]
Так как \(y\lt 0\), интеграл справа отрицательный, следовательно, \(x\lt x_0\). Получается, интегральная кривая стремится вниз влево.
Из исходного уравнения \(y'=\sqrt{\frac{\ln(1+y)}{\sin x}} \) получаем, что при \(x \to -\pi\) производная \(y' \to +\infty\), при \(y\to -1\) производная \(y' \to +\infty\).

Получаем: интегральные кривые стремятся вниз влево, асимптотически приближаясь к прямым \(x=-\pi\) или \(y = - 1\), причем к прямой \(x = -\pi\) приближаются по касательной, а к прямой \(y = -1\) перпендикулярно.

Построим интегральные кривые:

В окрестности начала координат: