Задача 68. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Найти ортогональные траектории к линиям следующих семейств:
а) \(y=Cx^2\);
б) \(y=Ce^x\);
в) \(Cx^2+y^2=1\).

Решение
а) \(y=Cx^2\)
Составим дифференциальное уравнение:
\[y'=2Cx\]
Выразим \(C\):
\[C=\frac{y'}{2x}\]
Подставим в исходное уравнение:
\[y=\frac{xy'}{2}\]
\[y'=\frac{2y}{x}.\]
Заменив в этом уравнении \(y'\) на \(-1/y'\) получим дифференциальное уравнение ортогональных кривых.

\[-\frac{1}{y'}=\frac{2y}{x}\]
Таким образом, дифференциальное уравнение ортогональных кривых: \[y'=-\frac{x}{2y}\]
Решив это уравнение, мы получим уравнение семейства ортогональных кривых. Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[2ydy=-xdx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int 2ydy=-\int xdx\]
\[y^2=-\frac{x^2}{2}+C\]
\[2y^2+x^2=C_1\]
Таким образом, уравнение семейства ортогональных кривых имеет вид:
\[2y^2+x^2=C_1.\]

б) \(y=Ce^x\)
Составим дифференциальное уравнение:
\[y'=Ce^x\]
Выразим \(C\)\
\[C=\frac{y'}{e^x}\]
Подставив в исходное уравнение, получим:
\[y'=y\]
Заменив в этом уравнении \(y'\) на \(-1/y'\) получим дифференциальное уравнение ортогональных кривых.
\[-\frac{1}{y'}=y\]
\[y'=-\frac{1}{y}\]
Решив это уравнение, мы получим уравнение семейства ортогональных кривых. Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[y \ dy=-dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int y \ dy=-\int dx\]
\[\frac{y^2}{2}=-x+C\]
Таким образом, уравнение семейства ортогональных кривых имеет вид:
\[y^2+2x=C_1.\]

в) \(Cx^2+y^2=1\)
Составим дифференциальное уравнение:
\[2Cx+2yy'=0\]
\[Cx+yy'=0\]
Выразим \(C\):
\[C=-\frac{yy'}{x}\]
Подставим в исходное уравнение:
\[-\frac{yy'}{x}x^2+y^2=1\]
\[y^2-xyy'=1\]
Заменив в этом уравнении \(y'\) на \(-1/y'\) получим дифференциальное уравнение ортогональных кривых.
\[y^2+xy\frac{1}{y'}=1\]
Решив это уравнение, мы получим уравнение семейства ортогональных кривых. Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[y'=\frac{xy}{1-y^2}\]
\[\frac{1-y^2}{y} dy=x \ dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int\frac{1-y^2}{y} dy=\int x \ dx\]
\[\int\frac{1-y^2}{y} dy=\int\frac{1}{y} dy-\int y dy=\ln|y|-\frac{y^2}{2}+C\]
Получаем:
\[\ln|y|-\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C\]
\[\ln|y|=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2} +C\]
\[y^2=C_1e^{x^2+y^2}.\]
Таким образом, уравнение семейства ортогональных кривых имеет вид:
\[y^2=C_1e^{x^2+y^2}.\]