Задача 67. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и найти решения, удовлетворяющие условиям: $3y^2y'+16x=2xy^3$; $y(x)$ ограничено при $x\to +\infty$.

Решение
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$3y^2y'=2x(y^3-8)$$
$$\frac{3y^2}{y^3-8} dy=2x \ dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{3y^2}{y^3-8} dy=\int 2x \ dx$$
$$\int \frac{3y^2}{y^3-8} dy=\int \frac{d(y^3-8)}{y^3-8} =\ln|y^3-8|+C$$
Получаем:
$$\ln|y^3-8|=x^2+C$$
$$y^3-8=C_1e^{x^2}$$
При делении на $y^3-8$ могло быть потеряно решение $y=2$. Решение $y=2$ входит в общее решение при $C_1=0$.

Таким образом, решение уравнения: $y^3-8=C_1e^{x^2}$.

Найдем решение удовлетворяющее условию: $y(x)$ ограничено при $x\to +\infty$.
Выразим $y$ из общего решения: $y=\sqrt[3]{C_1e^{x^2}+8}$. Очевидно, что $y$ ограничено только при $C_1=0$, то есть $y=2$.

Таким образом, получаем решение уравнения удовлетворяющее исходному условию:
$$y=2.$$