Задача 67. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и найти решения, удовлетворяющие условиям: \(3y^2y'+16x=2xy^3\); \(y(x)\) ограничено при \(x\to +\infty\).

Решение
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[3y^2y'=2x(y^3-8)\]
\[\frac{3y^2}{y^3-8} dy=2x \ dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{3y^2}{y^3-8} dy=\int 2x \ dx\]
\[\int \frac{3y^2}{y^3-8} dy=\int \frac{d(y^3-8)}{y^3-8} =\ln|y^3-8|+C\]
Получаем:
\[\ln|y^3-8|=x^2+C\]
\[y^3-8=C_1e^{x^2}\]
При делении на \(y^3-8\) могло быть потеряно решение \(y=2\). Решение \(y=2\) входит в общее решение при \(C_1=0\).

Таким образом, решение уравнения: \(y^3-8=C_1e^{x^2}\).

Найдем решение удовлетворяющее условию: \(y(x)\) ограничено при \(x\to +\infty\).
Выразим \(y\) из общего решения: \(y=\sqrt[3]{C_1e^{x^2}+8}\). Очевидно, что \(y\) ограничено только при \(C_1=0\), то есть \(y=2\).

Таким образом, получаем решение уравнения удовлетворяющее исходному условию:
\[y=2.\]