Задача 66. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и найти решения, удовлетворяющие начальным условиям: $x^2y'-\cos 2y=1$; $y(+\infty)=9\pi/4$.

Решение
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$x^2y'=1+\cos 2y$$
$$\frac{1}{1+\cos 2y}dy=\frac{1}{x^2}dx$$
$$\frac{1}{2\cos^2y}dy=\frac{1}{x^2}dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{1}{2\cos^2y}dy=\int \frac{1}{x^2}dx$$
$$\frac{1}{2}\text{tg} \ y=-\frac{1}{x}+C$$
$$y=\text{arctg}(2C -2/x)+2\pi n, n\in Z.$$
Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:
$$y=\text{arctg}(2C -2/x)+2\pi n, n\in Z.$$
Найдем решение удовлетворяющее начальным условиям $y(+\infty)=9\pi/4$:
$$y(+\infty)=\lim_{x\to \infty}(\text{arctg}(2C -2/x)+2\pi n)=\text{arctg}(2C)+2\pi n$$
$$\text{arctg}(2C)+2\pi n=9\pi/4$$
$$\text{arctg}(2C)=(9\pi-8\pi n)/4$$
Так как $-\pi/2\lt\text{arctg}(2C) \lt\pi/2$ , то $n=1$. Получаем:
$$\text{arctg}(2C)=\frac{\pi}{4}$$
$$C=\frac{1}{2}$$
Таким образом, решение удовлетворяющее начальным условиям:
$$y=\text{arctg}(1 -2/x)+2\pi.$$