Задача 66. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и найти решения, удовлетворяющие начальным условиям: \(x^2y'-\cos 2y=1\); \(y(+\infty)=9\pi/4\).

Решение
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[x^2y'=1+\cos 2y\]
\[\frac{1}{1+\cos 2y}dy=\frac{1}{x^2}dx\]
\[\frac{1}{2\cos^2y}dy=\frac{1}{x^2}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{2\cos^2y}dy=\int \frac{1}{x^2}dx\]
\[\frac{1}{2}\text{tg} \ y=-\frac{1}{x}+C\]
\[y=\text{arctg}(2C -2/x)+2\pi n, n\in Z.\]
Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:
\[y=\text{arctg}(2C -2/x)+2\pi n, n\in Z.\]
Найдем решение удовлетворяющее начальным условиям \(y(+\infty)=9\pi/4\):
\[y(+\infty)=\lim_{x\to \infty}(\text{arctg}(2C -2/x)+2\pi n)=\text{arctg}(2C)+2\pi n\]
\[\text{arctg}(2C)+2\pi n=9\pi/4\]
\[\text{arctg}(2C)=(9\pi-8\pi n)/4\]
Так как \(-\pi/2\lt\text{arctg}(2C) \lt\pi/2\) , то \(n=1\). Получаем:
\[\text{arctg}(2C)=\frac{\pi}{4}\]
\[C=\frac{1}{2}\]
Таким образом, решение удовлетворяющее начальным условиям:
\[y=\text{arctg}(1 -2/x)+2\pi.\]