Задача 65. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых: $y'=\sqrt{4x+2y-1}$.

Решение
Введем замену: $z=4x+2y-1$.
$$z'=4+2y' \ \Rightarrow \ y'=\frac{z'-4}{2}$$
Получаем:
$$\frac{z'-4}{2}=\sqrt{z}$$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$z'=2\sqrt{z}+4$$
$$\frac{1}{2\sqrt{z}+4}dz=dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{z}+2}dz=\int dx$$
Для первого интеграла проведем замену $z=u^2, dz=2u \ du$:
$$\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{z}+2}dz=\int \frac{u}{u+2}du=\int du-2\int \frac{1}{u+2}du=u-2\ln|u+2| +C$$
Выполним обратную замену:
$$\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{z}+2}dz=\sqrt{z}-2\ln|\sqrt{z}+2|+C$$
Получаем:
$$\sqrt{z}-2\ln|\sqrt{z}+2|=x+C$$
Проведем обратную замену к исходным переменным:
$$\sqrt{4x+2y-1}-2\ln|\sqrt{4x+2y-1}+2|=x+C$$
Таким образом, решение уравнения:
$$\sqrt{4x+2y-1}-2\ln|\sqrt{4x+2y-1}+2|=x+C.$$
Построим интегральные кривые. Область определения функции $\sqrt{4x+2y-1}$: $4x+2y-1\ge 0$ или $y\ge 0.5-2x$.