Задача 65. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых: \(y'=\sqrt{4x+2y-1}\).

Решение
Введем замену: \(z=4x+2y-1\).
\[z'=4+2y' \ \Rightarrow \ y'=\frac{z'-4}{2}\]
Получаем:
\[\frac{z'-4}{2}=\sqrt{z}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[z'=2\sqrt{z}+4\]
\[\frac{1}{2\sqrt{z}+4}dz=dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{z}+2}dz=\int dx\]
Для первого интеграла проведем замену \(z=u^2, dz=2u \ du\):
\[\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{z}+2}dz=\int \frac{u}{u+2}du=\int du-2\int \frac{1}{u+2}du=u-2\ln|u+2| +C\]
Выполним обратную замену:
\[\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{z}+2}dz=\sqrt{z}-2\ln|\sqrt{z}+2|+C\]
Получаем:
\[\sqrt{z}-2\ln|\sqrt{z}+2|=x+C\]
Проведем обратную замену к исходным переменным:
\[\sqrt{4x+2y-1}-2\ln|\sqrt{4x+2y-1}+2|=x+C\]
Таким образом, решение уравнения:
\[\sqrt{4x+2y-1}-2\ln|\sqrt{4x+2y-1}+2|=x+C.\]
Построим интегральные кривые. Область определения функции \(\sqrt{4x+2y-1}\): \(4x+2y-1\ge 0\) или \(y\ge 0.5-2x\).