Задача 64. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых: $(x+2y)y'=1$. Найти решения, удовлетворяющие начальным условиям: $y(0)=-1$.

Решение
Введем замену: $z=x+2y$.
$$z'=1+2y' \ \Rightarrow \ y'=\frac{z'-1}{2}$$
Получаем:
$$z\frac{z'-1}{2}=1$$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$z'=\frac{2}{z}+1$$
$$z'=\frac{2+z}{z}$$
$$\frac{z}{2+z} dz=dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{z}{2+z} dz=\int dx$$
$$\int \frac{z}{2+z} dz=\int dz-\int \frac{2}{2+z} dz=z-2\ln|2+z|+C$$
Получаем:
$$z-2\ln|2+z|=x+C$$
Проведем обратную замену:
$$x+2y-2\ln|2+x+2y|=x+C$$
$$2\ln|2+x+2y|=2y+C$$
$$2+x+2y=C_1e^y$$

При делении на $z +2$ могло быть потеряно решение $x+2y+2=0$. Решение $x+2y+2=0$ входит в общее решение при $C_1=0$.

Таким образом, решение уравнения:
$$2+x+2y=C_1e^y.$$

Найдем решение для условия $y(0)=-1$. Подставим условие в общее уравнение:
$$2+0-2=C_1e^{-1} \ \Rightarrow \ C_1=0.$$
Получаем решение: $2+x+2y=0$.

Интегральные кривые: