Задача 64. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых: \((x+2y)y'=1\). Найти решения, удовлетворяющие начальным условиям: \(y(0)=-1\).

Решение
Введем замену: \(z=x+2y\).
\[z'=1+2y' \ \Rightarrow \ y'=\frac{z'-1}{2}\]
Получаем:
\[z\frac{z'-1}{2}=1\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[z'=\frac{2}{z}+1\]
\[z'=\frac{2+z}{z}\]
\[ \frac{z}{2+z} dz=dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{z}{2+z} dz=\int dx\]
\[\int \frac{z}{2+z} dz=\int dz-\int \frac{2}{2+z} dz=z-2\ln|2+z|+C\]
Получаем:
\[z-2\ln|2+z|=x+C\]
Проведем обратную замену:
\[x+2y-2\ln|2+x+2y|=x+C\]
\[2\ln|2+x+2y|=2y+C\]
\[2+x+2y=C_1e^y\]

При делении на \(z +2 \) могло быть потеряно решение \(x+2y+2=0\). Решение \(x+2y+2=0\) входит в общее решение при \(C_1=0\).

Таким образом, решение уравнения:
\[2+x+2y=C_1e^y.\]

Найдем решение для условия \(y(0)=-1\). Подставим условие в общее уравнение:
\[2+0-2=C_1e^{-1} \ \Rightarrow \ C_1=0.\]
Получаем решение: \(2+x+2y=0\).

Интегральные кривые: