Задача 63. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых: $y'-y=2x-3$.

Решение
Введем замену: $z=y+2x-3$.
$$z'=y'+2 \ \Rightarrow \ y'=z'-2$$
Получаем: $z'-2=z$.
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$\frac{1}{z+2}dz=dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{1}{z+2}dz=\int dx$$
$$\ln|z+2|=x+C$$
$$z=C_1e^x-2$$
Проведем обратную замену:
$$y+2x-3=C_1e^x-2$$
$$y=C_1e^x-2x+1$$
При делении на $z +2$ могло быть потеряно решение $y=1-2x$. Решение $y=1-2x$ входит в общее решение при $C_1=0$.

Таким образом, решение уравнения:
$$y=C_1e^x-2x+1.$$

Интегральные кривые: