Задача 63. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых: \(y'-y=2x-3\).

Решение
Введем замену: \(z=y+2x-3\).
\[z'=y'+2 \ \Rightarrow \ y'=z'-2\]
Получаем: \(z'-2=z\).
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1}{z+2}dz=dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{z+2}dz=\int dx\]
\[\ln|z+2|=x+C\]
\[z=C_1e^x-2\]
Проведем обратную замену:
\[y+2x-3=C_1e^x-2\]
\[y=C_1e^x-2x+1\]
При делении на \(z +2 \) могло быть потеряно решение \(y=1-2x\). Решение \(y=1-2x\) входит в общее решение при \(C_1=0\).

Таким образом, решение уравнения:
\[y=C_1e^x-2x+1.\]

Интегральные кривые: