Задача 62. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых: $y'=\cos(y-x)$.

Решение
Введем замену: $z=y-x$.
$$z'=y'-1 \ \Rightarrow \ y'=z'+1$$
Получаем: $z'+1=\cos z$.
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$\frac{1}{\cos z -1}dz=dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{1}{\cos z -1}dz=\int dx$$
$$\int \frac{1}{\cos z -1}dz=-\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sin^2 \dfrac{z}{2}}dz=\text{ctg}\frac{z}{2}+C$$
$$\int dx=x+C$$
Получаем:
$$\text{ctg}\frac{z}{2}=x+C$$
Проведем обратную замену:
$$\text{ctg}\frac{y-x}{2}=x+C$$
При делении на $\cos z -1$ могло быть потеряно решение $y=x+2n\pi$. При подстановке в исходное уравнение получаем тождество, следовательно $y=x+2n\pi$ является решением.

Таким образом, решение уравнения:
$$\text{ctg}\frac{y-x}{2}=x+C; \ y=x+2n\pi.$$

Интегральные кривые: