Задача 62. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых: \(y'=\cos(y-x)\).

Решение
Введем замену: \(z=y-x\).
\[z'=y'-1 \ \Rightarrow \ y'=z'+1\]
Получаем: \(z'+1=\cos z\).
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1}{\cos z -1}dz=dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{1}{\cos z -1}dz=\int dx\]
\[\int \frac{1}{\cos z -1}dz=-\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sin^2 \dfrac{z}{2}}dz=\text{ctg}\frac{z}{2}+C\]
\[\int dx=x+C\]
Получаем:
\[\text{ctg}\frac{z}{2}=x+C\]
Проведем обратную замену:
\[\text{ctg}\frac{y-x}{2}=x+C\]
При делении на \(\cos z -1 \) могло быть потеряно решение \(y=x+2n\pi\). При подстановке в исходное уравнение получаем тождество, следовательно \(y=x+2n\pi\) является решением.

Таким образом, решение уравнения:
\[\text{ctg}\frac{y-x}{2}=x+C; \ y=x+2n\pi.\]

Интегральные кривые: